Considere a base S=v1, v2, v3 de R^3, em que v1=(1,1,1), v2=(1,1,0) e v3=(1,0,0) e seja T: R^3 R^3 o operador linear tal que
T(v1)=(2,-1,4), T(v2)=(3,0,1), T(v3)=(-1,5,1)
Encontre uma fórmula para T(x1, x2, x3) e use essa fórmula para obter T(2,4,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar uma fórmula geral para a função linear T(v1) = (2, -1, 4), T(v2) = (3, 0, 1), T(v3) = (-1, 5, 1) que recebe um vetor em e retorna outro vetor em . Para isso, vamos usar a base fornecida, que nos dá os vetores , e . Além disso, sabemos como age sobre cada um desses vetores da base:
Vamos precisar entender como expressar qualquer vetor como uma combinação linear desses vetores da base e, em seguida, aplicar a função usando essa combinação.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever o vetor av1 + bv2 + cv3 = (x1, x2, x3) como uma combinação linear dos vetores da base a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) = (x1, x2, x3) . Ou seja, vamos encontrar escalares a + b + c = x1 a + b = x2 a = x3 tais que:
Substituindo os valores dos vetores da base:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 3

Da terceira equação, já sabemos que:
a = x3
Substituindo x3 + b = x2 implies b = x2 - x3 na segunda equação:
x3 + (x2 - x3) + c = x1 implies x2 + c = x1 implies c = x1 - x2
Agora, substituindo a = x3, b = x2 - x3, c = x1 - x2 e na primeira equação:
Então, encontramos:

Passo 4

Agora que temos T(x1, x2, x3) = aT(v1) + bT(v2) + cT(v3) expressos em termos de T(x1, x2, x3) = x3(2, -1, 4) + (x2 - x3)(3, 0, 1) + (x1 - x2)(-1, 5, 1) , podemos usar a linearidade de para encontrar :
Substituindo os valores de e as imagens de :

Passo 5

Vamos agora realizar as multiplicações escalares e somar os vetores:
T(x1, x2, x3) &= (2x3, -x3, 4x3) & + (3(x2 - x3), 0(x2 - x3), 1(x2 - x3)) & + (-1(x1 - x2), 5(x1 - x2), 1(x1 - x2)) &= (2x3 + 3x2 - 3x3 - x1 + x2, & -x3 + 0 + 5x1 - 5x2, & 4x3 + x2 - x3 + x1 - x2) &= (-x1 + 4x2 - x3, ; 5x1 - 5x2 - x3, ; x1 + 3x3)
Simplificando cada componente:
  1. Primeira componente:
2x3 + 3x2 - 3x3 - x1 + x2 = -x1 + 4x2 - x3
  1. Segunda componente:
-x3 + 0 + 5x1 - 5x2 = 5x1 - 5x2 - x3
  1. Terceira componente:
4x3 + x2 - x3 + x1 - x2 = x1 + 3x3

Resposta

Portanto, a fórmula para T(x1, x2, x3) = (-x1 + 4x2 - x3, ; 5x1 - 5x2 - x3, ; x1 + 3x3) é:
T(2, 4, -1) &= (-2 + 4 times 4 - (-1), ; 5 times 2 - 5 times 4 - (-1), ; 2 + 3 times (-1)) &= (-2 + 16 + 1, ; 10 - 20 + 1, ; 2 - 3) &= (15, -9, -1)
Agora, vamos usar essa fórmula para encontrar :
Substituindo , , e :
Resposta Final:

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