Considere a base de , em que , e e seja o operador linear tal que
Encontre uma fórmula para e use essa fórmula para obter .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar uma fórmula geral para a função linear que recebe um vetor em e retorna outro vetor em . Para isso, vamos usar a base fornecida, que nos dá os vetores , e . Além disso, sabemos como age sobre cada um desses vetores da base:
Vamos precisar entender como expressar qualquer vetor como uma combinação linear desses vetores da base e, em seguida, aplicar a função usando essa combinação.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, vamos encontrar escalares tais que:
Substituindo os valores dos vetores da base:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 3
Da terceira equação, já sabemos que:
a = x3
Substituindo x3 + b = x2 implies b = x2 - x3 na segunda equação:
x3 + (x2 - x3) + c = x1 implies x2 + c = x1 implies c = x1 - x2
Agora, substituindo a = x3, b = x2 - x3, c = x1 - x2 e na primeira equação:
Então, encontramos:
Passo 4
Agora que temos T(x1, x2, x3) = aT(v1) + bT(v2) + cT(v3) expressos em termos de T(x1, x2, x3) = x3(2, -1, 4) + (x2 - x3)(3, 0, 1) + (x1 - x2)(-1, 5, 1) , podemos usar a linearidade de para encontrar :
Substituindo os valores de e as imagens de :
Passo 5
Vamos agora realizar as multiplicações escalares e somar os vetores: