Prove que |a+b| <=|a|+|b|, forall a, b in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que para quaisquer números reais e , vale que . Isso está relacionado ao estudo das desigualdades envolvendo valores absolutos na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é valor absoluto e como ele funciona em operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto. Para qualquer número real |x| = x, & se x >= 0 -x, & se x < 0 , o valor absoluto é a distância de até o zero na reta numérica, sempre um número não negativo. Ou seja:

Passo 3

Agora, para provar a desigualdade , vamos considerar duas situações possíveis para e :
  1. Ambos positivos ou zero: Se e forem não negativos, então , e claramente , o que satisfaz a desigualdade.
  2. Um positivo e outro negativo: Suponha que seja positivo e negativo. Então, e . A soma pode ser positiva ou negativa, dependendo dos valores específicos de e .

Passo 4

Vamos detalhar a segunda situação. Se |a + b| = a + b <= a + (-b) = |a| + |b| , então |a + b| = -(a + b) = -a - b <= a + (-b) = |a| + |b| , e temos:
Se , então , e:
Em ambos os casos, a desigualdade é satisfeita.

Resposta

Portanto, provamos que para quaisquer números reais e , sempre vale que .

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