Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que para quaisquer números reais
e
, vale que
. Isso está relacionado ao estudo das desigualdades envolvendo valores absolutos na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é valor absoluto e como ele funciona em operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto. Para qualquer número real
, o valor absoluto
é a distância de
até o zero na reta numérica, sempre um número não negativo. Ou seja:
Passo 3
Agora, para provar a desigualdade
, vamos considerar duas situações possíveis para
e
:
-
Ambos positivos ou zero: Se
e forem não negativos, então , e claramente , o que satisfaz a desigualdade. -
Um positivo e outro negativo: Suponha que
seja positivo e negativo. Então, e . A soma pode ser positiva ou negativa, dependendo dos valores específicos de e .
Passo 4
Vamos detalhar a segunda situação. Se
, então
, e temos:
Se
, então
, e:
Em ambos os casos, a desigualdade
é satisfeita.
Resposta
Portanto, provamos que para quaisquer números reais
e
, sempre vale que
.