Prove que
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma inequação para provar: se
e
, então
. A matéria aqui envolve álgebra de inequações, onde a gente manipula expressões para mostrar que uma desigualdade é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades básicas das inequações e manipulações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a inequação que queremos provar:
. Nosso objetivo é transformar essa expressão de uma forma que possamos usar as informações dadas (
e
) para demonstrar que a desigualdade é válida.
Passo 3
Vamos começar trazendo todos os termos para um lado da inequação para facilitar a análise. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar os termos para facilitar a fatoração:
Passo 5
Podemos fatorar
dos dois primeiros termos e
dos últimos dois:
Passo 6
Perceba que
. Substituindo isso na expressão, temos:
Passo 7
Agora, vamos fatorar
do lado esquerdo:
Passo 8
Observamos que a expressão é o produto de duas quantidades:
e
. Vamos analisar cada uma:
- Sabemos que
, então . - Também,
, então .
Passo 9
Como ambos os fatores são positivos (
e
), o produto deles também será positivo:
Resposta
Portanto, provamos que se
e
, então
.