Prove que x>1>y Rightarrow x+y>x y+1, forall x, y in R.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma inequação para provar: se e , então . A matéria aqui envolve álgebra de inequações, onde a gente manipula expressões para mostrar que uma desigualdade é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades básicas das inequações e manipulações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a inequação que queremos provar: . Nosso objetivo é transformar essa expressão de uma forma que possamos usar as informações dadas ( e ) para demonstrar que a desigualdade é válida.

Passo 3

Vamos começar trazendo todos os termos para um lado da inequação para facilitar a análise. Subtraindo x + y - x y - 1 > 0 de ambos os lados, temos:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para facilitar a fatoração:
x - x y + y - 1 > 0

Passo 5

Podemos fatorar x (1 - y) + (y - 1) > 0 dos dois primeiros termos e dos últimos dois:

Passo 6

Perceba que x (1 - y) - (1 - y) > 0 . Substituindo isso na expressão, temos:

Passo 7

Agora, vamos fatorar (1 - y) (x - 1) > 0 do lado esquerdo:

Passo 8

Observamos que a expressão é o produto de duas quantidades: e . Vamos analisar cada uma:
  • Sabemos que , então .
  • Também, , então .

Passo 9

Como ambos os fatores são positivos ( (1 - y) (x - 1) > 0 e ), o produto deles também será positivo:

Resposta

Portanto, provamos que se e , então .

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