Determine em cada caso os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Vou usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão de uma hipérbole com eixo horizontal é:
Onde
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado às assíntotas.
Passo 3
A gente começa rearranjando a equação original
para a forma padrão:
Dividindo tudo por 20:
Agora, a equação está na forma padrão
, onde
e
.
Passo 4
Vamos encontrar os vértices. Para hipérboles horizontais, os vértices estão a uma distância
do centro. Aqui, o centro é
porque não há termos de
ou
.
Calculando
:
Então, os vértices são:
Passo 5
Agora, vamos achar os focos. A fórmula para os focos é
.
Calculando
:
Então, os focos são:
Passo 6
Por último, vamos determinar as assíntotas. As equações das assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por:
Calculando
:
Então, as assíntotas são:
Resposta
Os vértices da hipérbole são
e
. Os focos são
e
. As assíntotas são as retas
e
.
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Determine as equações dareta que passa por
Para cada um dos itens abaixo determinar:
, com o produto interno usual,
.
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e e cujo eixo maior é . Faça um esboço da curva.