Determine em cada caso os vértices V1 e V2, os focos F1 e F2 e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma. 4 x^2-5 y^2-20=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . Vou usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão de uma hipérbole com eixo horizontal é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado às assíntotas.

Passo 3

A gente começa rearranjando a equação original 4x^2 - 5y^2 = 20 para a forma padrão:
4x^220 - 5y^220 = 1 implies x^25 - y^24 = 1
Dividindo tudo por 20:
Agora, a equação está na forma padrão , onde e .

Passo 4

Vamos encontrar os vértices. Para hipérboles horizontais, os vértices estão a uma distância a = raiz5 approx 2,24 do centro. Aqui, o centro é V1 = (-raiz5, 0) e V2 = (raiz5, 0) porque não há termos de ou .
Calculando :
Então, os vértices são:

Passo 5

Agora, vamos achar os focos. A fórmula para os focos é c^2 = 5 + 4 = 9 implies c = 3 .
Calculando F1 = (-3, 0) e F2 = (3, 0) :
Então, os focos são:

Passo 6

Por último, vamos determinar as assíntotas. As equações das assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por:
y = pm bax
Calculando ba = 2raiz5 = 2raiz55 :
y = 2raiz55x e y = -2raiz55x
Então, as assíntotas são:

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos são e . As assíntotas são as retas e .

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