- Determine a equação da elipse cujos focos são
e
e cujo eixo maior é
. Faça um esboço da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! Temos dois focos da elipse:
e
. Além disso, o comprimento do eixo maior é
. A gente vai precisar usar um pouco de geometria analítica e entender como uma elipse é definida.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Então, vamos calcular o ponto médio entre
e
.
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a distância entre os focos, que é
. Vamos calcular a distância entre
e
:
Então,
.
Passo 4
Sabemos que o comprimento do eixo maior é
, então:
Agora, vamos encontrar
, que está relacionado com
e
na equação da elipse:
Passo 5
A elipse tem seus focos em
e
, o que significa que o eixo maior está inclinado na direção de
. Para facilitar, vamos girar o sistema de coordenadas para que o eixo maior fique alinhado com o novo eixo
.
O ângulo de rotação
é 45 graus, já que a inclinação é de 1 (coeficiente de
).
Passo 6
Usando a transformação de rotação, as novas coordenadas
em relação às originais
são:
Com
,
, e
.
Passo 7
A equação padrão da elipse no sistema rotacionado é:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
pelas expressões em termos de
e
:
Simplificando as expressões:
Passo 9
Expandindo os termos:
Essa é a equação da elipse nos coordenadas originais.
Resposta
A equação da elipse é:
Exercícios relacionados
Para cada um dos itens abaixo determinar:
, com o produto interno usual,
.
Determine em cada caso os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
Determine a transformação linear tal que
e
.
Sejam
e
bases de
. Determine a matriz
.