• Determine a equação da elipse cujos focos são F=(0,0) e F^prime=(4,4) e cujo eixo maior é 2 a=8. Faça um esboço da curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! Temos dois focos da elipse: e . Além disso, o comprimento do eixo maior é . A gente vai precisar usar um pouco de geometria analítica e entender como uma elipse é definida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Então, vamos calcular o ponto médio entre h = 0 + 42 = 2 k = 0 + 42 = 2 e .
Então, o centro da elipse é .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a distância entre os focos, que é 2c = raiz(4 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = raiz16 + 16 = raiz32 = 4raiz2 . Vamos calcular a distância entre e :
Então, .

Passo 4

Sabemos que o comprimento do eixo maior é a = 82 = 4 , então:
b^2 = a^2 - c^2 b^2 = 16 - 8 = 8 b = 2raiz2
Agora, vamos encontrar , que está relacionado com e na equação da elipse:

Passo 5

A elipse tem seus focos em e , o que significa que o eixo maior está inclinado na direção de . Para facilitar, vamos girar o sistema de coordenadas para que o eixo maior fique alinhado com o novo eixo .
O ângulo de rotação é 45 graus, já que a inclinação é de 1 (coeficiente de ).

Passo 6

Usando a transformação de rotação, as novas coordenadas X' = (x - h)costheta + (y - k)sintheta Y' = -(x - h)sintheta + (y - k)costheta em relação às originais são:
Com , , e .

Passo 7

A equação padrão da elipse no sistema rotacionado é:
X'^2a^2 + Y'^2b^2 = 1
Substituindo X'^216 + Y'^28 = 1 e :

Passo 8

Agora, substituímos [(x - 2)raiz22 + (y - 2)raiz22]^216 + [-(x - 2)raiz22 + (y - 2)raiz22]^28 = 1 e ( (x - 2) + (y - 2) )^232 + ( -(x - 2) + (y - 2) )^216 = 1 pelas expressões em termos de e :
Simplificando as expressões:

Passo 9

Expandindo os termos:
(x + y - 4)^232 + (y - x)^216 = 1
Essa é a equação da elipse nos coordenadas originais.

Resposta

A equação da elipse é:
(x + y - 4)^232 + (y - x)^216 = 1

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lang<= u, vrang<=
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