Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z, números reais tais que a matriz A seja simétrica.
(a) A=(ll-2 & x -1 & 1).
(b) A=(ccc4 & x+1 & -6 -3 & 2 & -4 2 y+2 & 2 z & 9).
© A=(ccc8 & x^3+3 & -5 7 & -9 & 4 y+z & z+3 x & 11).

Passo 1

Vamos resolver o item (a) do exercício. O enunciado nos pede para encontrar o valor de de forma que a matriz seja simétrica. Lembrando que uma matriz é simétrica quando ela é igual à sua transposta, ou seja, . Para isso, vamos analisar a matriz dada e aplicar o conceito de simetria.

Passo 2

A matriz A = -2 & x -1 & 1 é dada por:
A^T = -2 & -1 x & 1
Para que seja simétrica, precisamos que . A transposta de é:

Passo 3

Igualando -2 & x -1 & 1 = -2 & -1 x & 1 a x = -1 e -1 = x , temos:

[


]
Isso significa que os elementos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os elementos fora da diagonal principal:

Passo 4

Resolvendo a equação x = -1 , encontramos que:

Passo 5

Agora, vamos resolver o item (b). Precisamos encontrar os valores de e para que a matriz seja simétrica. Novamente, usaremos a propriedade .

Passo 6

A matriz A = 4 & x+1 & -6 -3 & 2 & -4 2y+2 & 2z & 9 no item (b) é:
A^T = 4 & -3 & 2y+2 x+1 & 2 & 2z -6 & -4 & 9
A transposta de é:

Passo 7

Igualando a , comparamos os elementos correspondentes:

Passo 8

Resolvendo as equações:

Passo 9

Por fim, vamos resolver o item ©. Precisamos encontrar os valores de e de forma que a matriz seja simétrica, ou seja, .

Passo 10

A matriz A = 8 & x^3+3 & -5 7 & -9 & 4 y+z & z+3x & 11 no item © é:
A^T = 8 & 7 & y+z x^3+3 & -9 & z+3x -5 & 4 & 11
A transposta de é:

Passo 11

Igualando a , comparamos os elementos correspondentes:

Passo 12

Resolvendo as equações:
  1. -5 = y + (4 - 3raiz[3]4) Rightarrow y = -5 - 4 + 3raiz[3]4 Rightarrow y = -9 + 3raiz[3]4
Substituindo na segunda equação:

Resposta

Para que a matriz x = raiz[3]4, y = -9 + 3raiz[3]4, e z = 4 - 3raiz[3]4 seja simétrica no item ©, os valores são:

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