Sejam u=(-4,3), v=(2,-5) e w=(a, b). Encontre a e b tais que
u+w=2 u-v
Represente os vetores acima no plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: , e . A questão pede para encontrar os valores de e que satisfazem a equação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a soma de vetores e a igualdade de vetores. Vamos precisar lembrar que para vetores serem iguais, suas componentes correspondentes devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada substituindo os vetores (-4, 3) + (a, b) = 2 cdot (-4, 3) - (2, -5) e pelos seus valores:

Passo 3

Vamos calcular o lado direito da equação. Primeiro, multiplicamos o vetor 2 cdot (-4, 3) = (-8, 6) por 2:
(-8, 6) - (2, -5) = (-8 - 2, 6 - (-5)) = (-10, 11)
Agora, subtraímos o vetor (-4 + a, 3 + b) = (-10, 11) :
Então, a equação fica:

Passo 4

Para que dois vetores sejam iguais, as componentes correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos as componentes -4 + a = -10 3 + b = 11 e :

Passo 5

Agora, resolvemos as equações para encontrar -4 + a = -10 a = -10 + 4 a = -6 e 3 + b = 11 b = 11 - 3 b = 8 :
Para :
Para :

Resposta

Os valores são e .

Representação Gráfica

Para representar os vetores no plano cartesiano, siga estes passos:
  1. Desenhe os eixos: Trace o eixo horizontal e o eixo vertical.
  2. Plote o vetor :
    • Comece na origem (0,0).
    • Movimente 4 unidades para a esquerda (pois ) e 3 unidades para cima (pois ).
    • Marque o ponto e desenhe uma seta do início até esse ponto.
  3. Plote o vetor :
    • Comece na origem.
    • Movimente 2 unidades para a direita e 5 unidades para baixo.
    • Marque o ponto e desenhe a seta correspondente.
  4. Plote o vetor :
    • Comece na origem.
    • Movimente 6 unidades para a esquerda e 8 unidades para cima.
    • Marque o ponto e desenhe a seta.
Assim, você terá todos os três vetores representados no plano cartesiano.

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