Encontre o ponto com
na reta de interseção dos planos
e
. Encontre o ponto com
e um terceiro ponto na metade da distância entre eles.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar pontos específicos na reta de interseção de dois planos. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a interseção de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e parametrize-los para achar a reta de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações dos dois planos:
Nosso objetivo é encontrar a reta onde esses dois planos se cruzam.
Passo 3
Para encontrar a reta de interseção, vamos resolver o sistema de equações. Podemos fazer isso eliminando uma das variáveis. Vamos eliminar
somando as duas equações:
Passo 4
Agora, podemos expressar
em função de
a partir da equação 3:
Vamos usar esse valor de
na segunda equação original para encontrar
:
Então, podemos expressar
em função de
:
Passo 5
Até aqui, temos
e
em função de
:
Isso significa que a reta de interseção pode ser parametrizada por
. Vamos usar um parâmetro
para representar
:
Então, a reta de interseção é dada por:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ponto na reta onde
. Usando a parametrização:
Substituindo
nas equações de
e
:
Então, o ponto com
é
.
Passo 7
Em seguida, vamos encontrar o ponto na reta onde
. Novamente, usando a parametrização:
Substituindo
:
Então, o ponto com
é
.
Passo 8
Por fim, precisamos encontrar um terceiro ponto que esteja no meio da distância entre os dois pontos que encontramos. Para isso, vamos achar a média das coordenadas correspondentes dos pontos
e
:
Então, o terceiro ponto no meio é
.
Resposta
Os pontos são:
- Ponto com
: - Ponto com
: - Ponto no meio da distância entre eles: