Encontre o ponto com z=2 na reta de interseção dos planos x+y+3 z=6 e x-y+z=4. Encontre o ponto com z=0 e um terceiro ponto na metade da distância entre eles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar pontos específicos na reta de interseção de dois planos. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a interseção de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e parametrize-los para achar a reta de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos dois planos:
Nosso objetivo é encontrar a reta onde esses dois planos se cruzam.

Passo 3

Para encontrar a reta de interseção, vamos resolver o sistema de equações. Podemos fazer isso eliminando uma das variáveis. Vamos eliminar (x + y + 3z) + (x - y + z) = 6 + 4 somando as duas equações:
2x + 4z = 10
x + 2z = 5 (equação 3)
çã

Passo 4

Agora, podemos expressar x = 5 - 2z em função de (5 - 2z) - y + z = 4 a partir da equação 3:
5 - y - z = 4
Vamos usar esse valor de -y - z = -1 na segunda equação original para encontrar y + z = 1 (equação 4) :
y = 1 - z
çã
Então, podemos expressar em função de :

Passo 5

Até aqui, temos x = 5 - 2z e y = 1 - z em função de z = z :
z = t
x = 5 - 2t
y = 1 - t
Isso significa que a reta de interseção pode ser parametrizada por (x, y, z) = (5 - 2t, , 1 - t, , t) . Vamos usar um parâmetro para representar :
Então, a reta de interseção é dada por:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ponto na reta onde z = t = 2 . Usando a parametrização:
x = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1
Substituindo y = 1 - 2 = -1 nas equações de e :
Então, o ponto com é .

Passo 7

Em seguida, vamos encontrar o ponto na reta onde z = t = 0 . Novamente, usando a parametrização:
x = 5 - 2(0) = 5
Substituindo y = 1 - 0 = 1 :
Então, o ponto com é .

Passo 8

Por fim, precisamos encontrar um terceiro ponto que esteja no meio da distância entre os dois pontos que encontramos. Para isso, vamos achar a média das coordenadas correspondentes dos pontos xmeio = 1 + 52 = 62 = 3 e ymeio = -1 + 12 = 02 = 0 :
zmeio = 2 + 02 = 22 = 1
Então, o terceiro ponto no meio é .

Resposta

Os pontos são:
  • Ponto com :
  • Ponto com :
  • Ponto no meio da distância entre eles:

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