Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de R^4.
(x, x, 0, x) mid x in R

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e ser fechado em relação à multiplicação por escalar. Vamos analisar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto (x, x, 0, x) = (0, 0, 0, 0) . O vetor zero em é . Se colocarmos na definição de :
Então, o vetor zero pertence a . Isso confirma que a primeira condição para ser um subespaço está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto u + v = (x1 + x2, x1 + x2, 0 + 0, x1 + x2) = (x1 + x2, x1 + x2, 0, x1 + x2) é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de e os somarmos, o resultado também deve estar em .
Sejam e dois vetores de . A soma deles é:
Perceba que tem a mesma forma de qualquer vetor em , onde . Portanto, a soma de dois vetores de também está em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se c cdot u = c cdot (x, x, 0, x) = (c x, c x, 0, c x) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor de e multiplicarmos por um número real , o resultado também deve estar em .
Tomemos um vetor de e multipliquemos por um escalar :
Novamente, o vetor resultante tem a mesma forma de qualquer vetor em , onde . Assim, também pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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