Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de
.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e ser fechado em relação à multiplicação por escalar. Vamos analisar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto
. O vetor zero em
é
. Se colocarmos
na definição de
:
Então, o vetor zero pertence a
. Isso confirma que a primeira condição para ser um subespaço está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de
e os somarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
dois vetores de
. A soma deles é:
Perceba que
tem a mesma forma de qualquer vetor em
, onde
. Portanto, a soma de dois vetores de
também está em
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor de
e multiplicarmos por um número real
, o resultado também deve estar em
.
Tomemos um vetor
de
e multipliquemos por um escalar
:
Novamente, o vetor resultante tem a mesma forma de qualquer vetor em
, onde
. Assim,
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.