Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto
é ou não um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço deve satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
.
Substituindo, temos
, que é verdade. Então, o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos checar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se a gente pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos supor que temos dois vetores
e
no conjunto, ou seja,
e
. A soma deles seria
. Para esse vetor estar no conjunto, precisaríamos que
.
Mas, vamos pensar:
. A gente vê que
a menos que
. Logo, a igualdade nem sempre vale, então o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 4
Mesmo já tendo descoberto que o conjunto não é fechado sob adição, vamos verificar a última condição por completude: a fechamento sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número escalar, o resultado também deve estar no conjunto.
Pegando um vetor
no conjunto, com
, e multiplicando por um escalar
, temos
. Para esse vetor estar no conjunto, precisaríamos que
.
Isso só é verdade se
, ou seja,
, o que acontece apenas para
ou
. Para outros valores de
, a igualdade não se mantém, então o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.