Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de R^3.
(x, y, z) in R^3 mid x=z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto (x, y, z) in R^3 mid x = z^2 é ou não um subespaço vetorial de R^3. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço deve satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele satisfaz a condição x = z^2.
Substituindo, temos 0 = 0^2, que é verdade. Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos checar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se a gente pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos supor que temos dois vetores (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) no conjunto, ou seja, x1 = z1^2 e x2 = z2^2. A soma deles seria (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Para esse vetor estar no conjunto, precisaríamos que x1 + x2 = (z1 + z2)^2.
Mas, vamos pensar: (z1 + z2)^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2 = x1 + x2 + 2z1z2. A gente vê que x1 + x2 neq x1 + x2 + 2z1z2 a menos que z1z2 = 0. Logo, a igualdade nem sempre vale, então o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 4

Mesmo já tendo descoberto que o conjunto não é fechado sob adição, vamos verificar a última condição por completude: a fechamento sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número escalar, o resultado também deve estar no conjunto.
Pegando um vetor (x, y, z) no conjunto, com x = z^2, e multiplicando por um escalar k, temos (kx, ky, kz). Para esse vetor estar no conjunto, precisaríamos que kx = (kz)^2 = k^2z^2 = k^2x.
Isso só é verdade se k = k^2, ou seja, k(k - 1) = 0, o que acontece apenas para k = 0 ou k = 1. Para outros valores de k, a igualdade não se mantém, então o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto (x, y, z) in R^3 mid x = z^2 não é um subespaço vetorial de R^3.

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