Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de R^4.
(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=1 e z=0.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que pede para determinar se um certo conjunto é um subespaço vetorial de R^4. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se o conjunto satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence ao conjunto. O vetor zero em R^4 é (0, 0, 0, 0). Substituindo esses valores nas condições dadas:
  • x - y = 0 - 0 = 0 que deve ser igual a 1? Não, 0 neq 1.
  • z = 0, o que está certo.
Como o vetor zero não satisfaz a primeira condição ( x - y = 1), ele não pertence ao conjunto.

Passo 3

Como já descobrimos que o vetor zero não está no conjunto, podemos concluir diretamente que o conjunto não é um subespaço vetorial. Não é necessário verificar as outras condições, porque todas elas precisam ser verdadeiras para que seja um subespaço.

Resposta

O conjunto (x, y, z, t) in R^4 mid x - y =1 e z =0 não é um subespaço vetorial de R^4, pois não contém o vetor zero.

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