Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício que pede para a gente determinar se certas equações são exatas e, se forem, encontrar a solução geral delas. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais, mais especificamente às Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar sua solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação na forma é chamada de exata se existir uma função tal que:
Isso significa que é uma função cuja derivada parcial em relação a e em relação a .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se as derivadas cruzadas de e são iguais. Ou seja, devemos calcular:
Se essas duas derivadas forem iguais, então a equação é exata.

Passo 4

Se a equação for exata, o pr��ximo passo é encontrar a função . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 5

Depois de integrar , derivamos em relação a e igualamos a . Isso nos permitirá encontrar a função :
Resolvendo essa equação, descobrimos .

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Onde é uma constante.

Resposta

Portanto, para cada equação dada:
  1. Verifique se . Se for igual, a equação é exata.
  2. Encontre a função integrando em relação a e determinando .
  3. Escreva a solução geral como .

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