Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício que pede para a gente determinar se certas equações são exatas e, se forem, encontrar a solução geral delas. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais, mais especificamente às Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar sua solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação na forma
é chamada de exata se existir uma função
tal que:
Isso significa que
é uma função cuja derivada parcial em relação a
dá
e em relação a
dá
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se as derivadas cruzadas de
e
são iguais. Ou seja, devemos calcular:
Se essas duas derivadas forem iguais, então a equação é exata.
Passo 4
Se a equação for exata, o pr��ximo passo é encontrar a função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 5
Depois de integrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
. Isso nos permitirá encontrar a função
:
Resolvendo essa equação, descobrimos
.
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Onde
é uma constante.
Resposta
Portanto, para cada equação dada:
- Verifique se
. Se for igual, a equação é exata. - Encontre a função
integrando em relação a e determinando . - Escreva a solução geral como
.