Calcule o limite a seguir usando as Regras de L
Valor: 15 pontos
lim x 0 -e^x+cos (x)+xx^3-2 x^2

Passo 1

Vamos resolver o limite usando as Regras de L’Hospital. Esse tipo de problema envolve calcular limites que resultam em formas indeterminadas, onde aplicamos derivadas para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, substituímos na expressão para verificar se temos uma forma indeterminada:
  • Numerador:
  • Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, temos uma forma , o que nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital, que diz que podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador:
    ddx(-e^x + cos(x) + x) = -e^x - sin(x) + 1
  • Derivada do denominador:
    ddx(x^3 - 2x^2) = 3x^2 - 4x

Passo 4

Recalculamos o limite com as derivadas encontradas:
lim x 0 -e^x - sin(x) + 13x^2 - 4x
Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Ainda obtemos a forma , então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.

Passo 5

Calculamos as derivadas novamente:
  • Derivada do numerador:
    ddx(-e^x - sin(x) + 1) = -e^x - cos(x)
  • Derivada do denominador:
    ddx(3x^2 - 4x) = 6x - 4

Passo 6

Reavaliamos o limite com as novas derivadas:
lim x 0 -e^x - cos(x)6x - 4
Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:

Resposta

-2-4 = 12

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