Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
w=arcsec(x y z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial parcial e precisa verificar se a função satisfaz essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e e ver se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que é a função inversa do secante. A derivada de em relação a é . Como é positivo no nosso caso, podemos simplificar para .

Passo 3

Vamos calcular partial wpartial x = 1x y z raiz(x y z)^2 - 1 cdot partialpartial x(x y z) = y zx y z raizx^2 y^2 z^2 - 1 = 1x raizx^2 y^2 z^2 - 1 :

Passo 4

Agora, vamos calcular partial wpartial y = 1x y z raiz(x y z)^2 - 1 cdot partialpartial y(x y z) = x zx y z raizx^2 y^2 z^2 - 1 = 1y raizx^2 y^2 z^2 - 1 :

Passo 5

Em seguida, calculamos partial wpartial z = 1x y z raiz(x y z)^2 - 1 cdot partialpartial z(x y z) = x yx y z raizx^2 y^2 z^2 - 1 = 1z raizx^2 y^2 z^2 - 1 :

Passo 6

Agora, vamos somar as três derivadas parciais:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 1x raizx^2 y^2 z^2 - 1 + 1y raizx^2 y^2 z^2 - 1 + 1z raizx^2 y^2 z^2 - 1
Podemos fatorar:
= (1x + 1y + 1z) cdot 1raizx^2 y^2 z^2 - 1
Essa expressão só será igual a zero se , o que não acontece para valores reais positivos de , e .

Resposta

Não, a função não satisfaz a equação.

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