Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo, é injetiva. Quais são sobrejetivas? Desenhe um diagrama de Venn para cada caso.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma função que leva os elementos do conjunto
para ele mesmo, com as seguintes definições:
Precisamos descobrir se essa função é injetiva e sobrejetiva. Para isso, vamos lembrar o que cada uma dessas propriedades significa e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Função Injetiva: Uma função é injetiva se cada elemento do conjunto de chegada é mapeado por no máximo um elemento do conjunto de partida. Em outras palavras, não pode ter dois elementos diferentes no conjunto de partida que apontem para o mesmo elemento no conjunto de chegada.
Vamos verificar isso na nossa função:
Observamos que tanto
quanto
mapeiam para
. Isso significa que dois elementos diferentes (
e
) estão apontando para o mesmo elemento (
). Portanto, a função não é injetiva.
Passo 3
Função Sobrejetiva: Uma função é sobrejetiva se todos os elementos do conjunto de chegada são mapeados por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Isso significa que não sobra nenhum elemento no conjunto de chegada que não seja alcançado pela função.
Vamos verificar quais elementos do conjunto de chegada
são atingidos:
-
→ alcança -
→ já estava sendo alcançado -
→ alcança -
→ alcança
Percebemos que nenhum elemento mapeia para
. Portanto, o elemento
não é alcançado por nenhum elemento do conjunto de partida, o que significa que a função não é sobrejetiva.
Passo 4
Agora, vamos desenhar o diagrama de Venn para visualizar melhor essa função.
- Desenhamos dois círculos, um representando o conjunto de partida
e outro representando o conjunto de chegada também . - Conectamos cada elemento do conjunto de partida com seu respectivo mapeamento no conjunto de chegada:
-
aponta para -
aponta para -
aponta para -
aponta para
-
O diagrama mostrará que
e
estão conectados ao mesmo elemento
, e
e
estão trocando entre si.
Resposta
A função dada não é injetiva porque os elementos
e
mapeiam para o mesmo valor
. Além disso, não é sobrejetiva porque o elemento
no conjunto de chegada não é atingido por nenhum elemento do conjunto de partida. O diagrama de Venn ilustra essas relações, mostrando as conexões conforme descrito.
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Encontre o valor da seguinte expressão:
Escreva em uma só potência:
Seja
a função de
em
definida por
. Calcule:
Sejam
e
.
Dê um exemplo de uma função de em
que seja sobrejetiva mas não injetiva.
Dê um exemplo de uma função de