Sejam
e
.
Dê um exemplo de uma função de
em
que seja sobrejetiva mas não injetiva.
Dê um exemplo de uma função de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
A tarefa é encontrar uma função
que mapeia elementos de
para
de forma que:
- Sobrejetiva (ou sobre): Todo elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de . - Não injetiva (ou não injetora): Pelo menos dois elementos de
são mapeados para o mesmo elemento de .
Para resolver, vamos lembrar o que são funções injetivas e sobrejetivas e como podemos construí-las.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser sobrejetiva. Uma função
é sobrejetiva se, para todo
, existe pelo menos um
tal que
. Ou seja, todos os elementos de
são “alcancados” pela função.
Em seguida, uma função é não injetiva se existem pelo menos dois elementos distintos em
que são mapeados para o mesmo elemento em
.
Passo 3
Sabendo que
e
, percebemos que não é possível ter uma função injetiva, pois temos mais elementos em
do que em
. Isso significa que necessariamente haverá pelo menos dois elementos de
mapeados para o mesmo elemento de
, garantindo que a função não seja injetiva.
Passo 4
Agora, vamos construir uma função
que seja sobrejetiva. Precisamos garantir que cada elemento de
tenha pelo menos um elemento de
mapeado para ele. Uma maneira simples de fazer isso é distribuir os elementos de
de forma que cada elemento de
seja atingido.
Por exemplo, podemos definir a função da seguinte forma:
Passo 5
Vamos verificar:
-
Sobrejetividade:
-
é atingido por e . -
é atingido por . -
é atingido por . - Portanto, todos os elementos de
são imagens de elementos de .
-
-
Não injetividade:
- Tanto
quanto são mapeados para , ou seja, . - Isso mostra que a função não é injetiva.
- Tanto
Resposta
Um exemplo de função que é sobrejetiva mas não injetiva é: