Sejam A = {a, b, c, d} e B = {x, y, z}.
Dê um exemplo de uma função de A em B que seja sobrejetiva mas não injetiva.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
A tarefa é encontrar uma função que mapeia elementos de para de forma que:
  • Sobrejetiva (ou sobre): Todo elemento de é imagem de pelo menos um elemento de .
  • Não injetiva (ou não injetora): Pelo menos dois elementos de são mapeados para o mesmo elemento de .
Para resolver, vamos lembrar o que são funções injetivas e sobrejetivas e como podemos construí-las.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se, para todo , existe pelo menos um tal que . Ou seja, todos os elementos de são “alcancados” pela função.
Em seguida, uma função é não injetiva se existem pelo menos dois elementos distintos em que são mapeados para o mesmo elemento em .

Passo 3

Sabendo que e , percebemos que não é possível ter uma função injetiva, pois temos mais elementos em do que em . Isso significa que necessariamente haverá pelo menos dois elementos de mapeados para o mesmo elemento de , garantindo que a função não seja injetiva.

Passo 4

Agora, vamos construir uma função que seja sobrejetiva. Precisamos garantir que cada elemento de tenha pelo menos um elemento de mapeado para ele. Uma maneira simples de fazer isso é distribuir os elementos de de forma que cada elemento de seja atingido.
Por exemplo, podemos definir a função da seguinte forma:

Passo 5

Vamos verificar:
  • Sobrejetividade:
    • é atingido por e .
    • é atingido por .
    • é atingido por .
    • Portanto, todos os elementos de são imagens de elementos de .
  • Não injetividade:
    • Tanto quanto são mapeados para , ou seja, .
    • Isso mostra que a função não é injetiva.

Resposta

Um exemplo de função que é sobrejetiva mas não injetiva é:

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