Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(b) integral-infty^infty cos pi x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento de integrais impróprias e comportamento de funções periódicas no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral imprópria convergente é aquela que tem um resultado finito quando consideramos os limites de integração tendendo ao infinito. Se o resultado for infinito ou não existir, dizemos que a integral é divergente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que estamos integrando: . Essa é uma função periódica que oscila entre -1 e 1 com um período de . Quando integramos essa função de a , estamos somando infinitas oscilações.

Passo 4

Para ver se a integral converge, consideramos o limite da função primitiva de integral-A^A cos pi x , dx = [sin pi xpi]-A^A = sin pi Api - sin (-pi A)pi = 2 sin pi Api . A primitiva de é . Vamos avaliar essa primitiva nos limites de a e depois tirar o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece quando tende ao infinito. O seno de oscila entre -1 e 1, então não tem um limite definido quando vai para o infinito. Isso significa que também não tem um limite definido.

Resposta

A integral é divergente.

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