Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a integral
é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento de integrais impróprias e comportamento de funções periódicas no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral imprópria convergente é aquela que tem um resultado finito quando consideramos os limites de integração tendendo ao infinito. Se o resultado for infinito ou não existir, dizemos que a integral é divergente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Essa é uma função periódica que oscila entre -1 e 1 com um período de
. Quando integramos essa função de
a
, estamos somando infinitas oscilações.
Passo 4
Para ver se a integral converge, consideramos o limite da função primitiva de
. A primitiva de
é
. Vamos avaliar essa primitiva nos limites de
a
e depois tirar o limite quando
tende ao infinito:
Passo 5
Agora, vamos ver o que acontece quando
tende ao infinito. O seno de
oscila entre -1 e 1, então
não tem um limite definido quando
vai para o infinito. Isso significa que
também não tem um limite definido.
Resposta
A integral
é divergente.