Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_n = 1 - (0.2)^n, a_n = (1 + 2/n)^n, a_n = n!/2^n, a_n = n * (-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de sequências! A gente tem quatro sequências diferentes e precisa descobrir se cada uma delas converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai achar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de sequências, limites e algumas propriedades de funções exponenciais e fatoriais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira sequência:
Aqui, a gente tem uma constante 1 menos um termo que envolve uma potência de 0.2 elevado a n.

Passo 3

Para descobrir se essa sequência converge, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Sabemos que, se a base de uma potência está entre 0 e 1, ou seja, , então tende a 0 conforme aumenta.

Passo 4

Aplicando isso aqui, como está entre 0 e 1:
Então, substituindo de volta na sequência:
Isso mostra que a sequência converge para 1.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda sequência:
Essa é uma forma conhecida que se relaciona com o número .

Passo 6

Sabemos que . Nesse caso, , então:
Portanto, essa sequência também converge, e seu limite é .

Passo 7

Vamos para a terceira sequência:
Aqui, temos um fatorial no numerador e uma potência no denominador.

Passo 8

Para analisar essa sequência, vamos usar o teste da razão. Calculamos:
Como o limite da razão é maior que 1, a sequência diverge para o infinito.

Passo 9

Finalmente, a quarta sequência:
Aqui, temos uma sequência que alterna sinais e mede o crescimento linear de .

Passo 10

Vamos verificar os limites laterais. Para par:
Para ímpar:
Como os limites laterais não coincidem e aumentam em magnitude infinita, a sequência não converge. Ela diverge.

Resposta

  1. converge para 1.
  2. converge para .
  3. diverge para infinito.
  4. diverge.

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