Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de sequências! A gente tem quatro sequências diferentes e precisa descobrir se cada uma delas converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai achar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de sequências, limites e algumas propriedades de funções exponenciais e fatoriais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira sequência:
Aqui, a gente tem uma constante 1 menos um termo que envolve uma potência de 0.2 elevado a n.
Passo 3
Para descobrir se essa sequência converge, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que, se a base de uma potência está entre 0 e 1, ou seja,
, então
tende a 0 conforme
aumenta.
Passo 4
Aplicando isso aqui, como
está entre 0 e 1:
Então, substituindo de volta na sequência:
Isso mostra que a sequência converge para 1.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda sequência:
Essa é uma forma conhecida que se relaciona com o número
.
Passo 6
Sabemos que
. Nesse caso,
, então:
Portanto, essa sequência também converge, e seu limite é
.
Passo 7
Vamos para a terceira sequência:
Aqui, temos um fatorial no numerador e uma potência no denominador.
Passo 8
Para analisar essa sequência, vamos usar o teste da razão. Calculamos:
Como o limite da razão é maior que 1, a sequência diverge para o infinito.
Passo 9
Finalmente, a quarta sequência:
Aqui, temos uma sequência que alterna sinais e mede o crescimento linear de
.
Passo 10
Vamos verificar os limites laterais. Para
par:
Para
ímpar:
Como os limites laterais não coincidem e aumentam em magnitude infinita, a sequência não converge. Ela diverge.
Resposta
-
converge para 1. -
converge para . -
diverge para infinito. -
diverge.