Mostre que
integral0^infty omega^34+omega^4 sen(omega x) d omega=pi2 e^-x cos (x)
(Dica : escreva a integral de Fourier da funcão f(x)=llpi2 e^-x cos (x), & se x>0 ; -pi2 e^x cos (x), & se x<0 )
Conclua que
integral0^infty omega^34+omega^4 sen(omega x) d omega=integral0^infty 2+omega^28+2 omega^4 cos (omega x) d omega
para x>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral
Está relacionada à Transformada de Fourier de uma função específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e transformadas de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que a Transformada de Fourier vai aplicar. A função dada é:
f(x) = pi2 e^-x cos(x), & se x > 0; -pi2 e^x cos(x), & se x < 0
Essa função é definida de forma diferente para valores positivos e negativos de , o que é comum em transformadas que lidam com sinais senoidais.

Passo 3

A Transformada de Fourier de uma função Ff(x) = integral-infty^infty f(x) e^-iomega x , dx é dada por:
No nosso caso, vamos usar a Transformada de Fourier para expressar a integral que queremos mostrar.

Passo 4

Vamos focar na integral original:
Podemos reescrever o denominador integral0^infty omega^34+omega^4 sen(omega x) , domega como , facilitando a manipulação algébrica.

Passo 5

Observando o denominador omega^4 + 4 = (omega^2 + 2omega + 2)(omega^2 - 2omega + 2) , percebemos que pode ser fatorado como:
Isso nos ajuda a simplificar a fracionária e facilitar a integração.

Passo 6

Agora, vamos comparar a integral dada com a Transformada de Fourier da função . Usando a dica, associamos a integral à parte real da transformada, considerando a função definida para .

Passo 7

Aplicando a Transformada de Fourier na função Ff(x) = pi2 e^-x cos(x) , temos:
Isso nos leva a concluir que a integral original é igual a essa expressão para .

Passo 8

Finalmente, para concluir, verificamos que:
para integral0^infty omega^34+omega^4 sen(omega x) , domega = pi2 e^-x cos(x) .

Resposta

Para integral0^infty omega^34+omega^4 sen(omega x) , domega = pi2 e^-x cos(x) ,

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