Mostre que
(Dica : escreva a integral de Fourier da funcão
Conclua que
para
.
Conclua que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral
Está relacionada à Transformada de Fourier de uma função específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e transformadas de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que a Transformada de Fourier vai aplicar. A função dada é:
Essa função é definida de forma diferente para valores positivos e negativos de
, o que é comum em transformadas que lidam com sinais senoidais.
Passo 3
A Transformada de Fourier de uma função
é dada por:
No nosso caso, vamos usar a Transformada de Fourier para expressar a integral que queremos mostrar.
Passo 4
Vamos focar na integral original:
Podemos reescrever o denominador
como
, facilitando a manipulação algébrica.
Passo 5
Observando o denominador
, percebemos que pode ser fatorado como:
Isso nos ajuda a simplificar a fracionária e facilitar a integração.
Passo 6
Agora, vamos comparar a integral dada com a Transformada de Fourier da função
. Usando a dica, associamos a integral à parte real da transformada, considerando a função definida para
.
Passo 7
Aplicando a Transformada de Fourier na função
, temos:
Isso nos leva a concluir que a integral original é igual a essa expressão para
.
Passo 8
Finalmente, para concluir, verificamos que:
para
.
Resposta
Para
,