Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série infinita
é convergente ou divergente. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma. Vamos usar conceitos de séries telescópicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É aquela em que, ao somar os termos, vários deles se cancelam, deixando a gente com uma expressão mais simples para calcular. Olhando para a nossa série, vemos que cada termo é a diferença entre duas potências de
:
Passo 3
Vamos escrever os primeiros termos da série para visualizar o cancelamento:
Percebe que
de
cancela com
de
, e assim por diante. Esse padrão continua para todos os termos.
Passo 4
Como a série é telescópica, a soma dos primeiros
termos fica assim:
Passo 5
Para encontrar o valor da série infinita, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
.
Passo 6
Substituindo o limite, temos:
Isso mostra que a série converge.
Resposta
A série é convergente e a soma dela é
.