Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(e^1 / n-e^1 /(n+1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série infinita
sumn=1^infty(e^1 / n-e^1 /(n+1))
é convergente ou divergente. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma. Vamos usar conceitos de séries telescópicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É aquela em que, ao somar os termos, vários deles se cancelam, deixando a gente com uma expressão mais simples para calcular. Olhando para a nossa série, vemos que cada termo é a diferença entre duas potências de e^1 / n - e^1/(n+1) :

Passo 3

Vamos escrever os primeiros termos da série para visualizar o cancelamento:
n=1:& e^1/1 - e^1/2 n=2:& e^1/2 - e^1/3 n=3:& e^1/3 - e^1/4 & vdots
Percebe que de cancela com de , e assim por diante. Esse padrão continua para todos os termos.

Passo 4

Como a série é telescópica, a soma dos primeiros SN = e^1 - e^1/(N+1) termos fica assim:

Passo 5

Para encontrar o valor da série infinita, vamos calcular o limite de limN to infty SN = limN to infty ( e^1 - e^1/(N+1) ) quando tende ao infinito:
Sabemos que .

Passo 6

Substituindo o limite, temos:
limN to infty SN = e - 1
Isso mostra que a série converge.

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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