Determine se cada integral é convergente ou divergente (D):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a integral
é convergente ou divergente. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites em integrais que vão até o infinito e aplicar algumas regras de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite. Quando temos uma integral que vai até o infinito, substituímos o infinito por um limite
que tende ao infinito:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, usamos a regra básica de integração para exponenciais:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Aplicando os limites de integração de 4 até
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito, então:
Portanto, a expressão fica:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.