Determine se cada integral é convergente ou divergente (D): integral4^infty e^-y / 2 d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a integral é convergente ou divergente. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites em integrais que vão até o infinito e aplicar algumas regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite. Quando temos uma integral que vai até o infinito, substituímos o infinito por um limite integral4^infty e^-y / 2 , dy = limb to infty integral4^b e^-y / 2 , dy que tende ao infinito:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral e^ky , dy = 1k e^ky + C . Para isso, usamos a regra básica de integração para exponenciais:
integral e^-y / 2 , dy = 1-1/2 e^-y / 2 + C = -2 e^-y / 2 + C
No nosso caso, , então:

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 4 até integral4^b e^-y / 2 , dy = [ -2 e^-y / 2 ]4^b = -2 e^-b / 2 + 2 e^-4 / 2 , temos:
-2 e^-b / 2 + 2 e^-2
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limb to infty ( -2 e^-b / 2 + 2 e^-2 ) tende ao infinito:
limb to infty (-2 e^-b / 2) = 0
Sabemos que 0 + 2 e^-2 = 2 e^-2 tende a 0 quando tende ao infinito, então:
Portanto, a expressão fica:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

Exercícios relacionados