Determine cada limite abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente de limites. A questão pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular limites de funções racionais (frações envolvendo polinômios) e ver o que acontece quando substituímos o valor de
que está se aproximando.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver o que acontece:
Ah, dá essa indeterminação
! Isso significa que a gente precisa usar outra técnica para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma
, uma das estratégias é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar tanto o numerador quanto o denominador da nossa função.
Passo 4
Vamos começar com o numerador
. Podemos fatorar um
em comum:
Agora, vamos fatorar o denominador
. Aqui, também podemos fatorar um
em comum:
Passo 5
Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, nossa função fica assim:
Perceba que temos um
tanto no numerador quanto no denominador. A gente pode simplificar esses
(desde que
, mas como estamos olhando o limite quando
se aproxima de 0, isso é válido).
Passo 6
Simplificando os
, a função fica:
Agora, podemos tentar novamente substituir
nessa nova expressão.
Passo 7
Substituindo
:
Resposta
O limite da função quando
se aproxima de 0 é
.