Determine cada limite abaixo.
lim x 0 x^2+xx^2-3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente de limites. A questão pede para calcular o limite da função quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular limites de funções racionais (frações envolvendo polinômios) e ver o que acontece quando substituímos o valor de que está se aproximando.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 0^2 + 00^2 - 3 times 0 = 0 + 00 - 0 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Ah, dá essa indeterminação ! Isso significa que a gente precisa usar outra técnica para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma , uma das estratégias é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar tanto o numerador quanto o denominador da nossa função.

Passo 4

Vamos começar com o numerador x^2 + x = x(x + 1) . Podemos fatorar um x^2 - 3x = x(x - 3) em comum:
Agora, vamos fatorar o denominador . Aqui, também podemos fatorar um em comum:

Passo 5

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, nossa função fica assim:
x(x + 1)x(x - 3)
Perceba que temos um tanto no numerador quanto no denominador. A gente pode simplificar esses (desde que , mas como estamos olhando o limite quando se aproxima de 0, isso é válido).

Passo 6

Simplificando os x + 1x - 3 , a função fica:
Agora, podemos tentar novamente substituir nessa nova expressão.

Passo 7

Substituindo 0 + 10 - 3 = 1-3 = -13 :

Resposta

O limite da função quando se aproxima de 0 é .

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