Determine o campo elétrico e a densidade de carga em cada face da placa, desprezando os efeitos das bordas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o campo elétrico e a densidade de carga em cada face de uma placa, ignorando os efeitos das bordas. Isso faz parte da matéria de Eletrostática, especificamente usando a Lei de Gauss. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss para superfícies planas e como calcular a densidade de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é campo elétrico. O campo elétrico ( ) é uma região ao redor de uma carga onde outra carga sente força. A densidade de carga ( ) é a quantidade de carga por unidade de área na superfície da placa.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ):
Como estamos lidando com uma placa infinita e desprezando os efeitos das bordas, podemos simplificar usando uma superfície gaussiana em forma de cilindro (também chamado de “cilindro gaussiano”) que atravessa a placa.

Passo 4

Vamos considerar que a placa tem duas faces, uma com carga positiva ( ) e outra com carga negativa ( ). A simetria do problema nos permite dizer que o campo elétrico é perpendicular à placa e tem a mesma intensidade em todas as direções paralelas à superfície.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico através do cilindro gaussiano é:
Onde é a área das faces do cilindro. A carga dentro do cilindro é .

Passo 6

Igualando o fluxo elétrico à carga dividida por :
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 7

Agora, resolvendo para :
Isso nos dá o campo elétrico produzido por uma única face da placa.

Passo 8

Considerando que a placa tem duas faces, uma positiva e outra negativa, os campos elétricos de cada face se somam no interior da placa e se anulam externamente. Então, o campo total dentro da placa é:
E fora da placa:

Passo 9

Quanto à densidade de carga, já identificamos que uma face tem e a outra .

Resposta

O campo elétrico dentro da placa é e fora da placa é . A densidade de carga é em uma face e na face oposta.

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