Determine o campo elétrico devido a um fio infinito de densidade constante
a uma distância radial
do mesmo. (Justifique todos os passos de simetria como feito em sala de aula, utilize as coordenadas cilíndricas).
Passo 1
Então, a gente tem um fio infinito com uma densidade de carga constante, chamada de
. A missão aqui é descobrir qual é o campo elétrico (
) a uma distância radial
desse fio. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos quando a situação tem uma certa simetria. E como estamos lidando com um fio infinito, vamos trabalhar com coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Como o fio é infinito e a distribuição de carga é uniforme, a gente sabe que o campo elétrico vai ser radial e vai ter a mesma intensidade em qualquer ponto que está a mesma distância
do fio. Então, faz sentido escolher um cilindro como superfície gaussiana. Esse cilindro vai ter um raio
e um comprimento
, centrado no fio.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que a integral do campo elétrico pela superfície gaussiana é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). Matematicamente, isso fica assim:
Passo 4
Vamos calcular a carga interna (
). Como o fio tem densidade linear de carga
e o comprimento do cilindro é
, a carga total dentro do cilindro é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral do campo elétrico pela superfície gaussiana. O cilindro tem três partes: as duas bases (superfícies superior e inferior) e a superfície lateral. Como o campo elétrico é radial, ele é perpendicular à superfície lateral e paralelo às bases. Isso significa que a contribuição do campo nas bases é zero, e a única parte que contribui é a superfície lateral.
Então, a integral fica:
Aqui,
é a área da superfície lateral do cilindro.
Passo 6
Agora, igualamos as duas expressões que temos:
Percebemos que o comprimento
se cancela dos dois lados.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
O campo elétrico a uma distância
do fio infinito é dado por:
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