Determine o campo elétrico devido a um fio infinito de densidade constante a uma distância radial do mesmo. (Justifique todos os passos de simetria como feito em sala de aula, utilize as coordenadas cilíndricas).

Passo 1

Então, a gente tem um fio infinito com uma densidade de carga constante, chamada de . A missão aqui é descobrir qual é o campo elétrico ( ) a uma distância radial desse fio. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos quando a situação tem uma certa simetria. E como estamos lidando com um fio infinito, vamos trabalhar com coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Como o fio é infinito e a distribuição de carga é uniforme, a gente sabe que o campo elétrico vai ser radial e vai ter a mesma intensidade em qualquer ponto que está a mesma distância do fio. Então, faz sentido escolher um cilindro como superfície gaussiana. Esse cilindro vai ter um raio e um comprimento , centrado no fio.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que a integral do campo elétrico pela superfície gaussiana é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ). Matematicamente, isso fica assim:

Passo 4

Vamos calcular a carga interna ( ). Como o fio tem densidade linear de carga e o comprimento do cilindro é , a carga total dentro do cilindro é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral do campo elétrico pela superfície gaussiana. O cilindro tem três partes: as duas bases (superfícies superior e inferior) e a superfície lateral. Como o campo elétrico é radial, ele é perpendicular à superfície lateral e paralelo às bases. Isso significa que a contribuição do campo nas bases é zero, e a única parte que contribui é a superfície lateral.
Então, a integral fica:
Aqui, é a área da superfície lateral do cilindro.

Passo 6

Agora, igualamos as duas expressões que temos:
Percebemos que o comprimento se cancela dos dois lados.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

O campo elétrico a uma distância do fio infinito é dado por:

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