Determine o campo elétrico no interior de uma esfera isolante com densidade de carga elétrica constante, raio
e carga elétrica total
. (Dica: Esfera pode ser vista como uma soma de cascas esféricas)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o campo elétrico dentro de uma esfera isolante que tem uma densidade de carga elétrica constante, raio
e carga total
. A matéria que vamos usar aqui é a eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss. Precisamos lembrar que a esfera pode ser pensada como uma soma de cascas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
:
Como estamos trabalhando com uma esfera de carga uniforme, o campo elétrico vai depender só da distância
do ponto em questão até o centro da esfera.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a carga que está dentro de um raio
menor que
. Como a densidade de carga
é constante, podemos calcular a carga interna
usando a razão entre os volumes:
Passo 4
Com a carga interna conhecida, aplicamos a Lei de Gauss. A superfície gaussiana é uma esfera de raio
, então o campo elétrico
é constante nessa superfície e perpendicular a ela. O fluxo elétrico fica:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico dentro da esfera é dado por:
onde
é a distância do ponto ao centro da esfera.