Determine o campo elétrico no interior de uma esfera isolante com densidade de carga elétrica constante, raio R e carga elétrica total q. (Dica: Esfera pode ser vista como uma soma de cascas esféricas)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o campo elétrico dentro de uma esfera isolante que tem uma densidade de carga elétrica constante, raio e carga total . A matéria que vamos usar aqui é a eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss. Precisamos lembrar que a esfera pode ser pensada como uma soma de cascas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica oint E cdot dA = Qinternavarepsilon0 :
Como estamos trabalhando com uma esfera de carga uniforme, o campo elétrico vai depender só da distância do ponto em questão até o centro da esfera.

Passo 3

Agora, precisamos determinar a carga que está dentro de um raio rho = q43pi R^3 Rightarrow Qinterna = rho cdot 43pi r^3 = q cdot ( rR )^3 menor que . Como a densidade de carga é constante, podemos calcular a carga interna usando a razão entre os volumes:

Passo 4

Com a carga interna conhecida, aplicamos a Lei de Gauss. A superfície gaussiana é uma esfera de raio E cdot 4pi r^2 = Qinternavarepsilon0 = q ( rR )^3varepsilon0 , então o campo elétrico E = q4pi varepsilon0 R^3 cdot r é constante nessa superfície e perpendicular a ela. O fluxo elétrico fica:
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico dentro da esfera é dado por:
E(r) = q4pi varepsilon0 R^3 cdot r
onde é a distância do ponto ao centro da esfera.

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