Uma esfera sólida isolante, de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme com densidade de cargas dada por , onde é uma constante e é a distância ao centro da esfera. Mostre que: a carga total na esfera é e que a carga entre R é dada por ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera sólida isolante com raio e uma distribuição de carga não uniforme. A densidade de carga é dada por , onde é uma constante e é a distância ao centro da esfera. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. A carga total na esfera é .
  2. A carga dentro de um raio qualquer ( ) é .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à distribuição de carga em volumes tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total na esfera. A carga total é obtida integrando a densidade de carga sobre todo o volume da esfera.
A densidade de carga é . Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é .
Então, a carga total é:

Passo 3

Vamos simplificar a integral:
Agora, calculamos a integral de de 0 a :

Passo 4

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para :
Portanto, mostramos que a carga total na esfera é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a carga dentro de um raio qualquer ( ). Usaremos uma abordagem semelhante, integrando a densidade de carga até o raio .
A carga é:
(Note que usamos como variável de integração para evitar confusão com o limite superior .)

Passo 6

Simplificando a integral:
Calculando a integral de de 0 a :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :
Agora, lembrando que , podemos expressar em termos de :

Resposta

A carga total na esfera é e a carga dentro de um raio qualquer é .

Exercícios relacionados

Determine o campo elétrico no interior de uma esfera isolante com densidade de carga elétrica constante, raio e carga elétrica total . (Dica: Esfera pode ser vista como uma soma de cascas esféricas)
Calcule o fluxo do campo elétrico de uma carga pontual em uma esfera de raio , onde a carga elétrica se encontra fora da esfera.
A queda de potencial através de um indutor de 40 mH é senoidal, com um pico de queda de potencial de 120 V . Encontre a reatância indutiva e o pico de corrente quando a frequência é a) 60 Hz e b) 2000 Hz.
Um capacitor de é conectado a um gerador de corrente alternada que aplica uma tensão senoidal, com um valor de pico de 100 V . Encontre a reatância capacitiva e a amplitude de corrente quando a frequência é a) 60 Hz e b) 6000 Hz.