Uma esfera sólida isolante, de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme com densidade de cargas dada por rho=rhoe rR, onde rhoe é uma constante e r é a distância ao centro da esfera. Mostre que: a carga total na esfera é Q=pi rhoe R^3 e que a carga entre 0 R é dada por q=Q r^4R^4;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera sólida isolante com raio e uma distribuição de carga não uniforme. A densidade de carga é dada por , onde é uma constante e é a distância ao centro da esfera. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. A carga total na esfera é .
  2. A carga dentro de um raio qualquer ( ) é .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à distribuição de carga em volumes tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total Q = integral0^R rho , dV = integral0^R rhoe rR cdot 4pi r^2 dr na esfera. A carga total é obtida integrando a densidade de carga sobre todo o volume da esfera.
A densidade de carga é . Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é .
Então, a carga total é:

Passo 3

Vamos simplificar a integral:
Q = 4pi rhoe 1R integral0^R r^3 dr
Agora, calculamos a integral de integral0^R r^3 dr = [ r^44 ]0^R = R^44 de 0 a :

Passo 4

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para Q = 4pi rhoe 1R cdot R^44 = pi rhoe R^3 :
Portanto, mostramos que a carga total na esfera é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a carga q = integral0^r rho , dV = integral0^r rhoe r'R cdot 4pi r'^2 dr' dentro de um raio qualquer ( ). Usaremos uma abordagem semelhante, integrando a densidade de carga até o raio .
A carga é:
(Note que usamos como variável de integração para evitar confusão com o limite superior .)

Passo 6

Simplificando a integral:
q = 4pi rhoe 1R integral0^r r'^3 dr'
Calculando a integral de integral0^r r'^3 dr' = [ r'^44 ]0^r = r^44 de 0 a :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para q = 4pi rhoe 1R cdot r^44 = pi rhoe r^4R :
q = Q r^4R^4
Agora, lembrando que , podemos expressar em termos de :

Resposta

A carga total na esfera é e a carga dentro de um raio qualquer é .

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