Uma esfera sólida isolante, de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme com densidade de cargas dada por
, onde
é uma constante e
é a distância ao centro da esfera. Mostre que: a carga total na esfera é
e que a carga entre
R é dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera sólida isolante com raio
e uma distribuição de carga não uniforme. A densidade de carga é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância ao centro da esfera. Precisamos mostrar duas coisas:
- A carga total na esfera é
. - A carga dentro de um raio
qualquer ( ) é .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à distribuição de carga em volumes tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total
na esfera. A carga total é obtida integrando a densidade de carga
sobre todo o volume da esfera.
A densidade de carga é
. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é
.
Então, a carga total
é:
Passo 3
Vamos simplificar a integral:
Agora, calculamos a integral de
de 0 a
:
Passo 4
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para
:
Portanto, mostramos que a carga total na esfera é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a carga
dentro de um raio
qualquer (
). Usaremos uma abordagem semelhante, integrando a densidade de carga até o raio
.
A carga
é:
(Note que usamos
como variável de integração para evitar confusão com o limite superior
.)
Passo 6
Simplificando a integral:
Calculando a integral de
de 0 a
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Agora, lembrando que
, podemos expressar
em termos de
:
Resposta
A carga total na esfera é
e a carga dentro de um raio
qualquer é
.