Determine o campo elétrico total no ponto
produzindo pelas seguintes distribuições de cargas: Uma linha de carga infinitamente longa com
, que está paralela ao eixo y , passando pelo ponto
e
; Outra linha de carga idêntica, passando por
e
, paralela ao eixo y e o plano infinito
, que contém uma distribuição superficial de carga
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o campo elétrico total no ponto
gerado por três distribuições de carga diferentes: duas linhas de carga infinita paralelas ao eixo y e uma superfície carregada em um plano infinito. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente as fórmulas para o campo elétrico de linhas de carga e de superfícies carregadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o campo elétrico de cada distribuição separadamente e depois somar os resultados vetorialmente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita. A fórmula para o campo elétrico devido a uma linha de carga com densidade linear
é:
Aqui,
é a distância perpendicular entre a linha de carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e
é a constante de permissividade do vácuo (
).
Passo 3
Vamos identificar a posição das duas linhas de carga. Ambas são paralelas ao eixo y e estão localizadas nos pontos
e
. Nosso ponto de interesse é
. Vamos calcular a distância
de cada linha ao ponto.
Para a primeira linha em
:
Para a segunda linha em
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico de cada linha no ponto
usando a fórmula mencionada:
Para cada linha:
Calculando os valores numéricos:
Passo 5
Determinar as direções dos campos elétricos das linhas de carga. Como as linhas são positivas, o campo elétrico aponta para longe delas. Vamos desenhar o vetor do ponto
para cada linha:
- Para a linha em
: a direção é da linha para o ponto, então o campo aponta na direção de . - Para a linha em
: a direção é da linha para o ponto, então o campo aponta na direção de .
Precisamos normalizar esses vetores para somar corretamente os campos.
Passo 6
Vamos normalizar os vetores direcionalmente:
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:
Agora, os campos elétricos vetoriais são:
Passo 7
Agora, somamos os campos das duas linhas:
Então, o campo resultante das linhas de carga é
na direção x.
Passo 8
Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado pela superfície carregada no plano
. A fórmula para o campo elétrico devido a uma superfície infinita com densidade superficial
é:
Como o plano está em
e nosso ponto está em
, o campo aponta na direção negativa de z.
Substituindo os valores:
Então, o campo devido ao plano é
na direção z.
Resposta
O campo elétrico total no ponto
é aproximadamente
.
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e
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, que possui uma densidade linear de carga de
.
uma superfície de carga infinita localizada no plano
, possui uma densidade superficial de carga
. Determine o campo elétrico nos pontos: a)
; b) na origem.