Determine o campo elétrico total no ponto (1,0,0) produzindo pelas seguintes distribuições de cargas: Uma linha de carga infinitamente longa com rhoL=50 pC / m, que está paralela ao eixo y , passando pelo ponto x=4 m e z=4 m; Outra linha de carga idêntica, passando por x=4 m e z=-4 m, paralela ao eixo y e o plano infinito Z=10, que contém uma distribuição superficial de carga rhos=10 nC / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o campo elétrico total no ponto (1,0,0) gerado por três distribuições de carga diferentes: duas linhas de carga infinita paralelas ao eixo y e uma superfície carregada em um plano infinito. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente as fórmulas para o campo elétrico de linhas de carga e de superfícies carregadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o campo elétrico de cada distribuição separadamente e depois somar os resultados vetorialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita. A fórmula para o campo elétrico devido a uma linha de carga com densidade linear rhoL é:
E = rhoL2pivarepsilon0 r
Aqui, r é a distância perpendicular entre a linha de carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo ( varepsilon0 approx 8,85 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2)).

Passo 3

Vamos identificar a posição das duas linhas de carga. Ambas são paralelas ao eixo y e estão localizadas nos pontos (4 m, y, 4 m) e (4 m, y, -4 m). Nosso ponto de interesse é (1,0,0). Vamos calcular a distância r de cada linha ao ponto.
Para a primeira linha em (4, y, 4):
r1 = raiz(1-4)^2 + (0-0)^2 + (0-4)^2 = raiz(-3)^2 + 0 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 m
Para a segunda linha em (4, y, -4):
r2 = raiz(1-4)^2 + (0-0)^2 + (0-(-4))^2 = raiz(-3)^2 + 0 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 m

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico de cada linha no ponto (1,0,0) usando a fórmula mencionada:
Para cada linha:
Elinha = 50 times 10^-12 C/m2pi times 8,85 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2) times 5 m = 50 times 10^-122pi times 8,85 times 10^-12 times 5
Calculando os valores numéricos:
Elinha = 502pi times 8,85 times 5 approx 50278,46 approx 0,179 N/C

Passo 5

Determinar as direções dos campos elétricos das linhas de carga. Como as linhas são positivas, o campo elétrico aponta para longe delas. Vamos desenhar o vetor do ponto (1,0,0) para cada linha:
  • Para a linha em (4, y, 4): a direção é da linha para o ponto, então o campo aponta na direção de (-3, 0, -4).
  • Para a linha em (4, y, -4): a direção é da linha para o ponto, então o campo aponta na direção de (-3, 0, 4).
Precisamos normalizar esses vetores para somar corretamente os campos.

Passo 6

Vamos normalizar os vetores direcionalmente:
Para a primeira linha:
r1 = (-3, 0, -4)5 = (-35, 0, -45)
Para a segunda linha:
r2 = (-3, 0, 4)5 = (-35, 0, 45)
Agora, os campos elétricos vetoriais são:
E1 = 0,179 times (-35, 0, -45) approx (-0,107, 0, -0,143) N/C
E2 = 0,179 times (-35, 0, 45) approx (-0,107, 0, 0,143) N/C

Passo 7

Agora, somamos os campos das duas linhas:
Elinhas = E1 + E2 = (-0,107, 0, -0,143) + (-0,107, 0, 0,143) = (-0,214, 0, 0) N/C
Então, o campo resultante das linhas de carga é -0,214 N/C na direção x.

Passo 8

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado pela superfície carregada no plano z=10. A fórmula para o campo elétrico devido a uma superfície infinita com densidade superficial rhos é:
E = rhos2varepsilon0
Como o plano está em z=10 e nosso ponto está em z=0, o campo aponta na direção negativa de z.
Substituindo os valores:
Eplano = 10 times 10^-9 C/m^22 times 8,85 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2) = 10 times 10^-917,7 times 10^-12 approx 565,0 N/C
Então, o campo devido ao plano é -565,0 N/C na direção z.

Resposta

O campo elétrico total no ponto (1,0,0) é aproximadamente Etotal = (-0,214, 0, -565,0) N/C.

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