Determine a força total que a carga Q=5 n C localizada em (0,0,4) sofre devido a ação de uma linha de carga circular de raio 3 , localizada no plano Z=0, que possui uma densidade linear de carga de 1 nC / m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma carga pontual localizada no ponto e uma linha de carga circular com raio 3 metros no plano . A densidade linear de carga dessa linha é . Nosso objetivo é encontrar a força total que a carga sente devido à ação dessa linha de carga circular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a linha de carga circular gera um campo elétrico no espaço ao redor dela. Como a carga está localizada acima do centro da carga circular, a simetria nos ajuda a simplificar os cálculos. Vamos calcular o campo elétrico na posição de devido à linha de carga e depois usar para encontrar a força.

Passo 3

Vamos considerar um elemento infinitesimal de comprimento da linha de carga circular, r = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5, m , que possui uma carga . A distância entre esse elemento e a carga pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras. Como estamos trabalhando com um círculo de raio 3 metros e está a 4 metros acima no eixo , a distância é:

Passo 4

Devido à simetria circular, os componentes horizontais do campo elétrico gerado por cada elemento dEz = 14 pi varepsilon0 cdot dq cdot 4r^3 irão se cancelar, restando apenas o componente vertical (ao longo do eixo dEz = 14 pi varepsilon0 cdot lambda , dl cdot 45^3 = 14 pi varepsilon0 cdot 4 lambda , dl125 ). A expressão do campo elétrico gerado por um elemento na direção é:
Substituindo e :

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico total Ez = 14 pi varepsilon0 cdot 4 lambda125 integral dl , integramos integral dl = 2 pi times 3 = 6 pi , m ao longo de toda a circunferência:
Ez = 14 pi varepsilon0 cdot 4 lambda125 times 6 pi = 14 pi varepsilon0 cdot 24 pi lambda125
A integral Ez = 24 pi lambda125 times 4 pi varepsilon0 = 6 lambda125 varepsilon0 ao redor do círculo é simplesmente o comprimento da circunferência, :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos os valores conhecidos. Sabemos que Ez = 6 times 1 times 10^-9125 times 8,85 times 10^-12 = 6 times 10^-91,10625 times 10^-9 approx 5,42, N/C e :

Passo 7

Finalmente, a força sobre a carga F = Q E é dada por:
Fz = 5 times 10^-9, C times 5,42, N/C = 27,1 times 10^-9, N = 2,71 times 10^-8, N
Como a força está na direção :

Resposta

A força total que a carga sofre é aproximadamente na direção positiva do eixo .

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