Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, temos que encontrar uma função
tal que
.
Matéria envolvida: Campos vetoriais conservativos e gradiente de uma função escalar.
O que vamos precisar: Saber como verificar se um campo vetorial é conservativo e, se for o caso, calcular a função potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
, ou seja,
. Isso significa que o campo não “gira” e que o trabalho realizado por
ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Primeira derivada parcial:
Segunda derivada parcial:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
Como
(a menos que
, mas queremos que a igualdade valha para todo
e
), concluímos que as derivadas parciais cruzadas não são iguais.
Passo 5
Como as derivadas parciais cruzadas não são iguais, isso significa que o campo vetorial
não é conservativo. Portanto, não existe uma função
tal que
.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.
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Considere o campo vetorial
(a) Calcule
e
;
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
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