Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (x^2 + y) i + x^2 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, temos que encontrar uma função tal que .
Matéria envolvida: Campos vetoriais conservativos e gradiente de uma função escalar.
O que vamos precisar: Saber como verificar se um campo vetorial é conservativo e, se for o caso, calcular a função potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar , ou seja, . Isso significa que o campo não “gira” e que o trabalho realizado por ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.
Para verificar se é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar as componentes de :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Primeira derivada parcial:
Segunda derivada parcial:

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
Como (a menos que , mas queremos que a igualdade valha para todo e ), concluímos que as derivadas parciais cruzadas não são iguais.

Passo 5

Como as derivadas parciais cruzadas não são iguais, isso significa que o campo vetorial não é conservativo. Portanto, não existe uma função tal que .

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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(a) Calcule Div(F) e Rot(F);
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y cos x - cos y) i + (sen x + x sen y) j