Resolver as equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente chama de Equação de Bernoulli. A equação que temos é
. Para resolver isso, vamos precisar usar um método específico para equações não lineares que envolvem potências de
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral
. No nosso caso:
Passo 3
O próximo passo é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. A gente escolhe
. Então, aqui
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Isso significa que podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituímos
na equação original:
Mas como
, temos
(mantém-se), então:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Dividimos ambos os lados por
:
Multiplicando por -3:
Mas como
, substituímos:
Passo 7
Agora, temos uma equação linear em
:
Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Multiplicamos por
para resolver para
:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Considere as superfícies:
A parte da esfera
com
O cilindro elíptico
com
;
: A parte da sela
que está dentro do cilindro
;
: A parte do plano
que está no primeiro octante
;
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
Resolver as equações de Bernoulli:
Resolver as equações de Bernoulli:
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.