Resolver as equações de Bernoulli:
d y'/d x + 3 y = 5 y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente chama de Equação de Bernoulli. A equação que temos é . Para resolver isso, vamos precisar usar um método específico para equações não lineares que envolvem potências de . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral . No nosso caso:

Passo 3

O próximo passo é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. A gente escolhe . Então, aqui .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Isso significa que podemos expressar em termos de :

Passo 5

Substituímos na equação original:
Mas como , temos (mantém-se), então:

Passo 6

Agora, isolamos :
Dividimos ambos os lados por :
Multiplicando por -3:
Mas como , substituímos:

Passo 7

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 8

Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Multiplicamos por para resolver para :

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Considere as superfícies:
S1: A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 com y <= 0
S2: O cilindro elíptico x^2 + 4y^2 = 1 com z em R;
S3 : A parte da sela z - x^2 + y^2 = 0 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9;
S4 : A parte do plano 2 x + y + z = 2 que está no primeiro octante (x, y, z ≥ 0);
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
Resolver as equações de Bernoulli:
c y' + 1/x y = 2 y^(1/2)
Resolver as equações de Bernoulli:
e y' - 2 y = 4 y^{-1}
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (x^2 + y) i + x^2 j