Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando existe uma função potencial
tal que
. Para isso, vamos usar propriedades dos campos conservativos, como as condições de igualdade das derivadas parciais cruzadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
. Temos:
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais. Ou seja, verificar se:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas:
- Primeira,
:
- Segunda,
:
Observamos que:
Passo 4
Como
, isso indica que o campo vetorial
é conservativo. Portanto, existe uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que depende somente de
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos:
Então:
No entanto, isso não faz sentido já que
deveria depender apenas de
. Isso indica que houve um erro no processo.
Passo 7
Vamos revisar o passo anterior. Na verdade, ao calcular
:
Então, temos:
Isolando
:
Aqui, de fato, encontramos um problema porque
não pode depender de
se for uma função apenas de
. Isso significa que nosso campo vetorial
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
(a) Calcule
e
;
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da parábola
de
a
Encontre uma função
tal que
,