Resolver as equações de Bernoulli:
e y' - 2 y = 4 y^{-1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é . A matéria que estamos usando aqui é a de equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação numa forma mais fácil de resolver usando substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli tem a forma:
No nosso caso, comparando com a equação dada , temos:

Passo 3

A próxima etapa é fazer uma substituição para simplificar a equação. Usamos a substituição . Como , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usando a regra da cadeia:
Queremos expressar em termos de . Da equação original, isolamos :

Passo 5

Substituímos na expressão de :
Como , substituímos:

Passo 6

Agora temos uma equação linear em :
Para resolver, encontramos o fator integrante. O fator integrante é:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvemos para :
Lembrando que , então:

Passo 10

Finalmente, isolamos tomando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolver as equações de Bernoulli:
d y'/d x + 3 y = 5 y^4
Considere as superfícies:
S1: A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 com y <= 0
S2: O cilindro elíptico x^2 + 4y^2 = 1 com z em R;
S3 : A parte da sela z - x^2 + y^2 = 0 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9;
S4 : A parte do plano 2 x + y + z = 2 que está no primeiro octante (x, y, z ≥ 0);
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (x^2 + y) i + x^2 j
Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(a) Calcule Div(F) e Rot(F);