Resolver as equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é
. A matéria que estamos usando aqui é a de equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação numa forma mais fácil de resolver usando substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli tem a forma:
No nosso caso, comparando com a equação dada
, temos:
Passo 3
A próxima etapa é fazer uma substituição para simplificar a equação. Usamos a substituição
. Como
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Queremos expressar
em termos de
. Da equação original, isolamos
:
Passo 5
Substituímos
na expressão de
:
Como
, substituímos:
Passo 6
Agora temos uma equação linear em
:
Para resolver, encontramos o fator integrante. O fator integrante
é:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Passo 10
Finalmente, isolamos
tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolver as equações de Bernoulli:
Considere as superfícies:
A parte da esfera
com
O cilindro elíptico
com
;
: A parte da sela
que está dentro do cilindro
;
: A parte do plano
que está no primeiro octante
;
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Considere o campo vetorial
(a) Calcule
e
;