Qual a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
{ xy' + y = x^5 y^3, y(1) = 1 }
(a) y(x) = raiz(3 / (-2 x^5 + 5 x^2)) válida no intervalo I = (-infinito, raiz_cubica(5/2)) - {0}
(b) y(x) = raiz(3 / (-2 x^5 + 5 x^2)) válida no intervalo I = (raiz(5/2), infinito)
© y(x) = raiz(1 / (-2 x^5 + x^2)) válida no intervalo I = R - {0}
(d) y(x) = raiz(3 / (-2 x^5 + 3 x^2)) válida no intervalo I = (-infinito, raiz(cubo(3/2))) - {0}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação com a condição inicial . Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli, para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro. Dividindo tudo por , temos:
Isso é uma equação de Bernoulli do tipo , onde .

Passo 3

A equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear fazendo uma substituição. Vamos definir . Calculando a derivada de :
Agora, substituímos da equação original:
Simplificando, chegamos a uma equação linear para :

Passo 4

Agora, resolvemos a equação linear para . Calculamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Multiplicando por :
Lembrando que , temos:
Invertendo:

Passo 6

Aplicamos a condição inicial :
Elevando ao quadrado:
Então:
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A alternativa correta é a (a)
á

Exercícios relacionados