Qual a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
(a)
válida no intervalo
(b)
válida no intervalo
©
válida no intervalo
(d)
válida no intervalo
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação
com a condição inicial
. Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli, para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro. Dividindo tudo por
, temos:
Isso é uma equação de Bernoulli do tipo
, onde
.
Passo 3
A equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear fazendo uma substituição. Vamos definir
. Calculando a derivada de
:
Agora, substituímos
da equação original:
Simplificando, chegamos a uma equação linear para
:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação linear para
. Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por
:
Lembrando que
, temos:
Invertendo:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Elevando ao quadrado:
Então:
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A alternativa correta é a (a)