Então, a gente tem uma integral para resolver: . A matéria aqui é cálculo integral, e vamos precisar usar a divisão de polinômios e frações parciais para simplificar antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o numerador pelo denominador porque os graus dos polinômios são iguais (ambos têm grau 3). Isso vai simplificar a fração.
Passo 3
Fazendo a divisão, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
A primeira parte é fácil de integrar:
Agora, vamos trabalhar na segunda integral:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador . Sabemos que:
Então, nossa fração fica:
Passo 6
Agora, usamos frações parciais para decompor essa fração. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C.
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
A = 53, B = -23, C = -13
Passo 9
Substituindo os valores de A, B e C na decomposição das frações parciais, temos:
x + 53 integral 1x-1 , dx + integral (-2/3)x -1/3x^2+x+1 , dx
Passo 10
Integrando cada termo:
53 integral 1x-1 , dx = 53 ln|x-1|
Para a segunda integral, completamos o quadrado no denominador:
x^2+x+1 = (x + 12)^2 + 34
E então, ajustamos o numerador para facilitar a integração, obtendo termos que se encaixam com a derivada do denominador e com a forma da função arctangente.
Passo 11
Após integrar todos os termos, combinamos os resultados e simplificamos. A solução completa da integral é:
x + 53 ln|x-1| - 13 ln(x^2+x+1) - 23 cdot 2raiz3 tan^-1(2x +1raiz3) + C
onde é a constante de integração.
Resposta
A integral de x^3+x^2+2 x+1x^3-1 , dx é:
x + 53 ln|x-1| - 13 ln(x^2+x+1) - 23 cdot 2raiz3 tan^-1(2x +1raiz3) + C