Passo 1

Então, a gente tem uma integral para resolver: . A matéria aqui é cálculo integral, e vamos precisar usar a divisão de polinômios e frações parciais para simplificar antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o numerador pelo denominador porque os graus dos polinômios são iguais (ambos têm grau 3). Isso vai simplificar a fração.

Passo 3

Fazendo a divisão, temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

A primeira parte é fácil de integrar:
Agora, vamos trabalhar na segunda integral:

Passo 5

Vamos fatorar o denominador . Sabemos que:
Então, nossa fração fica:

Passo 6

Agora, usamos frações parciais para decompor essa fração. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C.

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:

Passo 9

Substituindo os valores de A, B e C na decomposição das frações parciais, temos:
Então, a integral fica:

Passo 10

Integrando cada termo:
Para a segunda integral, completamos o quadrado no denominador:
E então, ajustamos o numerador para facilitar a integração, obtendo termos que se encaixam com a derivada do denominador e com a forma da função arctangente.

Passo 11

Após integrar todos os termos, combinamos os resultados e simplificamos. A solução completa da integral é:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de é:
onde é a constante de integração.

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