integral x^3+x^2+2 x+1x^3-1 d x

Passo 1

Então, a gente tem uma integral para resolver: integral x^3+x^2+2 x+1x^3-1 , dx. A matéria aqui é cálculo integral, e vamos precisar usar a divisão de polinômios e frações parciais para simplificar antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o numerador pelo denominador porque os graus dos polinômios são iguais (ambos têm grau 3). Isso vai simplificar a fração.

Passo 3

Fazendo a divisão, temos:
x^3+x^2+2x+1x^3-1 = 1 + x^2+2x+2x^3-1
Então, a integral fica:
integral x^3+x^2+2x+1x^3-1 , dx = integral 1 , dx + integral x^2+2x+2x^3-1 , dx

Passo 4

A primeira parte é fácil de integrar:
integral 1 , dx = x
Agora, vamos trabalhar na segunda integral: integral x^2+2x+2x^3-1 , dx

Passo 5

Vamos fatorar o denominador x^3-1. Sabemos que:
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
Então, nossa fração fica:
x^2+2x+2(x-1)(x^2+x+1)

Passo 6

Agora, usamos frações parciais para decompor essa fração. Assumimos que:
x^2+2x+2(x-1)(x^2+x+1) = Ax-1 + Bx + Cx^2+x+1
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C.

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum (x-1)(x^2+x+1) para eliminar os denominadores:
x^2+2x+2 = A(x^2+x+1) + (Bx + C)(x-1)
Expandindo o lado direito:
x^2+2x+2 = A x^2 + A x + A + Bx^2 + Cx - Bx - C
Simplificando:
x^2+2x+2 = (A + B)x^2 + (A + C - B)x + (A - C)

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
A + B = 1 A + C - B = 2 A - C = 2
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
A = 53, B = -23, C = -13

Passo 9

Substituindo os valores de A, B e C na decomposição das frações parciais, temos:
x^2+2x+2(x-1)(x^2+x+1) = 5/3x-1 + (-2/3)x -1/3x^2+x+1
Então, a integral fica:
x + 53 integral 1x-1 , dx + integral (-2/3)x -1/3x^2+x+1 , dx

Passo 10

Integrando cada termo:
53 integral 1x-1 , dx = 53 ln|x-1|
Para a segunda integral, completamos o quadrado no denominador:
x^2+x+1 = (x + 12)^2 + 34
E então, ajustamos o numerador para facilitar a integração, obtendo termos que se encaixam com a derivada do denominador e com a forma da função arctangente.

Passo 11

Após integrar todos os termos, combinamos os resultados e simplificamos. A solução completa da integral é:
x + 53 ln|x-1| - 13 ln(x^2+x+1) - 23 cdot 2raiz3 tan^-1(2x +1raiz3) + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de x^3+x^2+2 x+1x^3-1 , dx é:
x + 53 ln|x-1| - 13 ln(x^2+x+1) - 23 cdot 2raiz3 tan^-1(2x +1raiz3) + C
onde é a constante de integração.

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