Determine, caso exista, lim x→−∞ x + 10 √(4x² + 16)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão $ x + 10 \sqrt{4x^2 + 16} $. Isso envolve conceitos de limites no infinito e manipulação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como lidar com radicais e termos de maior grau em limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar o cálculo. Observe que dentro da raiz temos $ 4x^2 + 16 $. Podemos fatorar o 4:
Passo 3
Agora, nossa expressão original fica assim:
Então, precisamos encontrar:
Passo 4
Para simplificar o cálculo do limite, vamos fatorar $ x^2 $ de dentro da raiz:
Como $ x $ tende a menos infinito, $ x $ é negativo, então $ |x| = -x $. Assim:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão principal:
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento de $ \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} $ quando $ x $ tende a menos infinito. Como $ \frac{4}{x^2} $ tende a 0, temos:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Agora, analisamos o limite de cada termo separadamente:
Resposta
Portanto, o limite quando $ x $ tende a menos infinito de $ x + 10 \sqrt{4x^2 + 16} $ é $ +\infty $.