Determine, caso exista, lim x→−∞ x + 10 √(4x² + 16)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão $ x + 10 \sqrt{4x^2 + 16} $. Isso envolve conceitos de limites no infinito e manipulação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como lidar com radicais e termos de maior grau em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar o cálculo. Observe que dentro da raiz temos $ 4x^2 + 16 $. Podemos fatorar o 4:
4x^2 + 16

Passo 3

Agora, nossa expressão original fica assim:
x + 10 cdot 2 raizx^2 + 4 = x + 20 raizx^2 + 4
Então, precisamos encontrar:
limx to -infty ( x + 20 raizx^2 + 4 )

Passo 4

Para simplificar o cálculo do limite, vamos fatorar $ x^2 $ de dentro da raiz:
x^2
Como $ x $ tende a menos infinito, $ x $ é negativo, então $ |x| = -x $. Assim:
raizx^2 + 4 = raizx^2 (1 + 4x^2) = |x| raiz1 + 4x^2

Passo 5

Substituindo de volta na expressão principal:
x + 20 cdot (-x) raiz1 + 4x^2 = x - 20x raiz1 + 4x^2 = x (1 - 20 raiz1 + 4x^2)

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento de $ \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} $ quando $ x $ tende a menos infinito. Como $ \frac{4}{x^2} $ tende a 0, temos:
raiz1 + 4x^2
Então:
x

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
x (-19 - 40x^2) = -19x - 40x
Agora, analisamos o limite de cada termo separadamente:
limx to -infty (-19x) = +infty (pois $ x $ é negativo e mué
limx to -infty (-40x) = 0

Resposta

Portanto, o limite quando $ x $ tende a menos infinito de $ x + 10 \sqrt{4x^2 + 16} $ é $ +\infty $.

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