Determine, caso exista, a matriz inversa das matrizes a abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa de uma matriz específica, se ela existir. O conteúdo que vamos usar aqui envolve matrizes e, mais especificamente, as propriedades das matrizes inversas. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa e como identificar se uma matriz possui essa inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Uma matriz inversa de uma matriz A times A^-1 = I é outra matriz, chamada , que quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Ou seja:
A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0.
Percebemos que é uma matriz diagonal, ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Para matrizes diagonais, a inversa é bem mais fácil de encontrar, desde que todos os elementos da diagonal principal sejam diferentes de zero.
Passo 4
Vamos verificar se todos os elementos da diagonal principal de são diferentes de zero:
Primeiro elemento: -8 ≠ 0
Segundo elemento: 1 ≠ 0
Terceiro elemento: 5 ≠ 0
Quarto elemento: -5 ≠ 0
Como todos os elementos da diagonal principal são diferentes de zero, a matriz tem inversa.
Passo 5
Para encontrar a matriz inversa A^-1 = 1-8 & 0 & 0 & 0 0 & 11 & 0 & 0 0 & 0 & 15 & 0 0 & 0 & 0 & 1-5 , em uma matriz diagonal, basta substituir cada elemento da diagonal principal pelo seu inverso (ou seja, A^-1 = -18 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 15 & 0 0 & 0 & 0 & -15 ) e manter os demais elementos como zero. Então, temos: