Determine, caso exista, a matriz inversa das matrizes a abaixo:
[cccc-8 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & -5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa de uma matriz específica, se ela existir. O conteúdo que vamos usar aqui envolve matrizes e, mais especificamente, as propriedades das matrizes inversas. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa e como identificar se uma matriz possui essa inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Uma matriz inversa de uma matriz A times A^-1 = I é outra matriz, chamada , que quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Ou seja:
A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0.

Passo 3

Agora, observando a matriz que nos foi dada:
A = -8 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & -5
Percebemos que é uma matriz diagonal, ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Para matrizes diagonais, a inversa é bem mais fácil de encontrar, desde que todos os elementos da diagonal principal sejam diferentes de zero.

Passo 4

Vamos verificar se todos os elementos da diagonal principal de são diferentes de zero:
  • Primeiro elemento: -8 ≠ 0
  • Segundo elemento: 1 ≠ 0
  • Terceiro elemento: 5 ≠ 0
  • Quarto elemento: -5 ≠ 0
Como todos os elementos da diagonal principal são diferentes de zero, a matriz tem inversa.

Passo 5

Para encontrar a matriz inversa A^-1 = 1-8 & 0 & 0 & 0 0 & 11 & 0 & 0 0 & 0 & 15 & 0 0 & 0 & 0 & 1-5 , em uma matriz diagonal, basta substituir cada elemento da diagonal principal pelo seu inverso (ou seja, A^-1 = -18 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 15 & 0 0 & 0 & 0 & -15 ) e manter os demais elementos como zero. Então, temos:
Simplificando os inversos:

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = -18 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 15 & 0 0 & 0 & 0 & -15 é:

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