(UNICAMP - SP) Considere o sistema linear nas variáveis reais x , y , z e w ,
l x-y=1 y+z=2 w-z=3
Logo, qual o valor da soma x+y+z+w ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . A gente precisa encontrar os valores dessas variáveis para depois somar tudo: . Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é ótimo para sistemas menores como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a primeira equação:
x - y = 1
Aqui, podemos isolar uma das variáveis. Vamos resolver para x = y + 1 :
Agora, sabemos que é igual a mais 1. Isso vai ajudar nas próximas etapas.

Passo 3

Vamos para a segunda equação:
y + z = 2
Daqui, podemos isolar z = 2 - y :
Então, é 2 menos . Agora já temos e em termos de .

Passo 4

Agora, a terceira equação:
w - z = 3
Sabemos que w - (2 - y) = 3 , então substituímos isso na equação:
w - 2 + y = 3
Vamos simplificar:
w = 3 + 2 - y
Agora, isola w = 5 - y :
Então, é 5 menos .

Passo 5

Agora que temos y + z = 2 , y + (2 - y) = 2 e 2 = 2 em termos de , precisamos achar o valor de . Olhando a segunda equa�o novamente:
Substituímos por :
Simplificando:
Isso significa que a equação é verdadeira para qualquer valor de . Porém, como temos três equações para quatro variáveis, pode ser qualquer número real. Mas, para encontrar a soma , não precisamos dos valores individuais.

Passo 6

Vamos expressar a soma x + y + z + w = (y + 1) + y + (2 - y) + (5 - y) usando as expressões que encontramos:
= y + 1 + y + 2 - y + 5 - y
Agora, vamos simplificar:
= (y + y - y - y) + (1 + 2 + 5)
= 0 + 8
= 8

Resposta

A soma vale 8.

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jordan.
lx+2 y-z=2 2 x-y+3 z=9 3 x+3 y-2 z=3
Mostre que a inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.
Use sistemas lineares para determinar a decomposição em frações parciais das expressões abaixo:
3 x-1(x-1)(x-2)(x-3)=Ax-1+Bx-2+Cx-3
Determine, caso exista, a matriz inversa das matrizes a abaixo:
[cccc-8 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & -5]