Use sistemas lineares para determinar a decomposição em frações parciais das expressões abaixo:
3 x-1(x-1)(x-2)(x-3)=Ax-1+Bx-2+Cx-3

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma fração 3x -1(x-1)(x-2)(x-3) e precisa quebrar ela em frações menores, chamadas de frações parciais. Isso é útil quando queremos integrar ou simplificar expressões racionais. Para fazer isso, vamos usar sistemas lineares, que são um conjunto de equações que a gente resolve junto para encontrar os valores das incógnitas, no caso, A, B e C.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação original igualada às frações parciais:
3x -1(x-1)(x-2)(x-3) = Ax-1 + Bx-2 + Cx-3
Para facilitar, vamos multiplicar os dois lados da equação por (x-1)(x-2)(x-3), que é o denominador comum. Assim, eliminamos os denominadores:
3x -1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de A, B e C. A forma mais simples é escolher valores de x que zerem os termos e facilitem a resolução. Vamos escolher x = 1, x = 2 e x = 3, porque assim cada equação vai ter apenas uma incógnita.
Para x = 1:
3(1) -1 = A(1-2)(1-3) + B(0) + C(0) 3 -1 = A(-1)(-2) 2 = 2A A = 1
Para x = 2:
3(2) -1 = A(0) + B(2-1)(2-3) + C(0) 6 -1 = B(1)(-1) 5 = -B B = -5
Para x = 3:
3(3) -1 = A(0) + B(0) + C(3-1)(3-2) 9 -1 = C(2)(1) 8 = 2C C = 4

Resposta

Então, a decomposição em frações parciais fica:
3x -1(x-1)(x-2)(x-3) = 1x-1 - 5x-2 + 4x-3

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