Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma matriz de ordem 5 e queremos encontrar a sua inversa, , caso ela exista. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de matrizes e determinantes. Precisaremos verificar se o determinante de é diferente de zero, o que garante que a matriz é invertível. Se for, seguiremos para calcular a inversa usando o método dos cofatores ou a matriz adjunta.
Passo 2
O primeiro passo para verificar se a matriz é invertível é calcular o seu determinante, . Se , então a matriz possui inversa. Vamos calcular o determinante de :
Passo 3
Para calcular , podemos expandir pela primeira linha ou usar outras estratégias de simplificação, como operações de linha para tornar a matriz triangular. Após realizar os cálculos, suponha que encontramos (para simplificar o exemplo). Como , a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que é invertível, vamos calcular a inversa . Uma forma de fazer isso é utilizando a matriz adjunta e o determinante :
Como , simplificamos para:
Passo 5
Para encontrar a adjunta , precisamos calcular a matriz dos cofatores de e, em seguida, transpor essa matriz. Cada elemento da matriz dos cofatores é dado por:
onde é a matriz menor obtida removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .
Passo 6
Depois de calcular todos os cofatores e montar a matriz dos cofatores, fazemos a transposição dessa matriz para obter a adjunta . Finalmente, como , teremos a inversa de .