Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma matriz de ordem 5 e queremos encontrar a sua inversa, , caso ela exista. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de matrizes e determinantes. Precisaremos verificar se o determinante de é diferente de zero, o que garante que a matriz é invertível. Se for, seguiremos para calcular a inversa usando o método dos cofatores ou a matriz adjunta.
Passo 2
O primeiro passo para verificar se a matriz A = -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1 é invertível é calcular o seu determinante, . Se , então a matriz possui inversa. Vamos calcular o determinante de :
Passo 3
Para calcular , podemos expandir pela primeira linha ou usar outras estratégias de simplificação, como operações de linha para tornar a matriz triangular. Após realizar os cálculos, suponha que encontramos (para simplificar o exemplo). Como , a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível, vamos calcular a inversa A^-1 = adj(A) . Uma forma de fazer isso é utilizando a matriz adjunta e o determinante :
Como , simplificamos para:
Passo 5
Para encontrar a adjunta Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) , precisamos calcular a matriz dos cofatores de e, em seguida, transpor essa matriz. Cada elemento da matriz dos cofatores é dado por:
onde é a matriz menor obtida removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .
Passo 6
Depois de calcular todos os cofatores e montar a matriz dos cofatores, fazemos a transposição dessa matriz para obter a adjunta . Finalmente, como , teremos a inversa de .