Determine A^-1, caso exista.
A=[rrr2 & 0 & -1 3 & 0 & 2 4 & -3 & 7]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa de , ou seja, , se ela existir. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como calcular a inversa de uma matriz. Vamos precisar verificar se o determinante de é diferente de zero e, se for, calcular a matriz adjunta e dividir pelo determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) para verificar se ela é invertível. O determinante de uma matriz A = 2 & 0 & -1 3 & 0 & 2 4 & -3 & 7 é calculado da seguinte forma:
det(A) = 2(0 cdot 7 - 2 cdot (-3)) - 0(3 cdot 7 - 2 cdot 4) + (-1)(3 cdot (-3) - 0 cdot 4)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 2(0 + 6) - 0(21 - 8) + (-1)(-9 - 0) = 2 cdot 6 - 0 cdot 13 + (-1) cdot (-9) = 12 + 0 + 9 = 21
Calculamos cada parte:
Simplificando:
Como o determinante é 21, que é diferente de zero, a matriz �� invertível.

Passo 3

Agora vamos encontrar a matriz adjunta de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de M11 = 0 & 2 -3 & 7 = (0)(7) - (2)(-3) = 0 + 6 = 6 .
Primeiro, calculamos os cofatores de cada elemento de C11 = (-1)^1+1 cdot 6 = 1 cdot 6 = 6 . O cofator M12 = 3 & 2 4 & 7 = (3)(7) - (2)(4) = 21 - 8 = 13 é dado por:
C12 = (-1)^1+2 cdot 13 = -1 cdot 13 = -13
Onde M13 = 3 & 0 4 & -3 = (3)(-3) - (0)(4) = -9 - 0 = -9 é o menor (determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna).
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator C13 = (-1)^1+3 cdot (-9) = 1 cdot (-9) = -9 :
M21 = 0 & -1 -3 & 7 = (0)(7) - (-1)(-3) = 0 - 3 = -3
C21 = (-1)^2+1 cdot (-3) = -1 cdot (-3) = 3
  1. Cofator M22 = 2 & -1 4 & 7 = (2)(7) - (-1)(4) = 14 + 4 = 18 :
C22 = (-1)^2+2 cdot 18 = 1 cdot 18 = 18
M23 = 2 & 0 4 & -3 = (2)(-3) - (0)(4) = -6 - 0 = -6
  1. Cofator C23 = (-1)^2+3 cdot (-6) = -1 cdot (-6) = 6 :
M31 = 0 & -1 0 & 2 = (0)(2) - (-1)(0) = 0 - 0 = 0
C31 = (-1)^3+1 cdot 0 = 1 cdot 0 = 0
  1. Cofator M32 = 2 & -1 3 & 2 = (2)(2) - (-1)(3) = 4 + 3 = 7 :
C32 = (-1)^3+2 cdot 7 = -1 cdot 7 = -7
M33 = 2 & 0 3 & 0 = (2)(0) - (0)(3) = 0 - 0 = 0
  1. Cofator C33 = (-1)^3+3 cdot 0 = 1 cdot 0 = 0 :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :

Passo 4

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = 6 & -13 & -9 3 & 18 & 6 0 & -7 & 0
Em seguida, obtemos a adjunta de Adj(A) = Cof(A)^T = 6 & 3 & 0 -13 & 18 & -7 -9 & 6 & 0 transpondo a matriz dos cofatores:

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula para a matriz inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Sabemos que A^-1 = 121 cdot 6 & 3 & 0 -13 & 18 & -7 -9 & 6 & 0 = 621 & 321 & 0 -1321 & 1821 & -721 -921 & 621 & 0 , então:
A^-1 = 27 & 17 & 0 -1321 & 67 & -13 -37 & 27 & 0
Simplificando as frações:

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = dfrac27 & dfrac17 & 0 [6px] -dfrac1321 & dfrac67 & -dfrac13 [6px] -dfrac37 & dfrac27 & 0 é

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