Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz , se ela existir. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar verificar se a matriz é inversível e, se for o caso, aplicar as operações adequadas para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz inversa existe somente se a matriz original for quadrada (o que é o caso aqui, já que é 5x5) e se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso primeiro passo é calcular o determinante de .
Passo 3
Calcular o determinante de uma matriz 5x5 pode ser bem trabalhoso, mas vamos seguir o processo. Vamos usar a expansão de Laplace, que envolve escolher uma linha ou coluna e somar os produtos dos elementos por seus cofatores. Para facilitar, vamos escolher a primeira linha, que tem alguns zeros, o que simplifica os cálculos.
Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
det(A) = (-1) cdot C11 + 1 cdot C13
Como os elementos na primeira linha que são zero multiplicam os cofatores, esses termos desaparecem:
Passo 5
Agora, precisamos calcular os cofatores M11 = 0 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 1 & 0 & 2 & 1 e C11 = (-1)^1+1 cdot det(M11) = 1 cdot det(M11) . O cofator é dado por vezes o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Primeiro, calculamos :
Removendo a primeira linha e primeira coluna de , obtemos:
Então,
Passo 6
Agora, calculamos det(M11) = 0 cdot C11 + 1 cdot C21 + 0 cdot C31 + 1 cdot C41 . Para uma matriz 4x4, podemos novamente usar a expansão de Laplace. Vamos escolher a primeira coluna, que tem um zero, facilitando os cálculos:
Voltando à expressão do determinante de det(A) = (-1) cdot 2 + 1 cdot (-2) = -2 - 2 = -4 :
Como o determinante de é diferente de zero (), a matriz é inversível.
Passo 15
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) tem inversa, vamos encontrar . A forma mais prática é usar a matriz adjunta. A fórmula para a inversa é:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Passo 16
Vamos calcular a matriz dos cofatores de . Cada elemento é o cofator correspondente da posição em . Fizemos e anteriormente. Vamos precisar calcular todos os 25 cofatores.
Devido ao tamanho, vou resumir os cálculos. Após calcular todos os cofatores, obteremos a matriz dos cofatores .
Passo 17
Depois de calcular todos os cofatores, transpondo a matriz dos cofatores obtemos a adjunta adj(A) = C^T .
Passo 18
Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1-4 cdot adj(A)
Simplificando, multiplicamos cada elemento da adjunta por para obter .