Determine , caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz , se ela existir. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar verificar se a matriz é inversível e, se for o caso, aplicar as operações adequadas para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz inversa existe somente se a matriz original for quadrada (o que é o caso aqui, já que é 5x5) e se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso primeiro passo é calcular o determinante de .

Passo 3

Calcular o determinante de uma matriz 5x5 pode ser bem trabalhoso, mas vamos seguir o processo. Vamos usar a expansão de Laplace, que envolve escolher uma linha ou coluna e somar os produtos dos elementos por seus cofatores. Para facilitar, vamos escolher a primeira linha, que tem alguns zeros, o que simplifica os cálculos.

Passo 4

A matriz é:
Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
Como os elementos na primeira linha que são zero multiplicam os cofatores, esses termos desaparecem:

Passo 5

Agora, precisamos calcular os cofatores e . O cofator é dado por vezes o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Primeiro, calculamos :
Removendo a primeira linha e primeira coluna de , obtemos:
Então,

Passo 6

Agora, calculamos . Para uma matriz 4x4, podemos novamente usar a expansão de Laplace. Vamos escolher a primeira coluna, que tem um zero, facilitando os cálculos:
Simplificando:

Passo 7

Calculando os cofatores e :
Para :
Removendo a segunda linha e primeira coluna de :
Então,
Para :
Removendo a quarta linha e primeira coluna de :
Então,

Passo 8

Agora, calculamos e :
Para :
Para :

Passo 9

Substituindo de volta:
Então,
E, portanto,

Passo 10

Agora, vamos calcular :
Removendo a primeira linha e terceira coluna de , obtemos:
Então,

Passo 11

Agora, calculamos . Vamos usar a primeira linha para expandir:
Apenas o último termo permanece:

Passo 12

Calculando o cofator :
Removendo a primeira linha e quarta coluna de :
Então,

Passo 13

Agora, calculamos :
Então,
E,
Portanto,

Passo 14

Voltando à expressão do determinante de :
Como o determinante de é diferente de zero ( ), a matriz é inversível.

Passo 15

Agora que sabemos que tem inversa, vamos encontrar . A forma mais prática é usar a matriz adjunta. A fórmula para a inversa é:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 16

Vamos calcular a matriz dos cofatores de . Cada elemento é o cofator correspondente da posição em . Fizemos e anteriormente. Vamos precisar calcular todos os 25 cofatores.
Devido ao tamanho, vou resumir os cálculos. Após calcular todos os cofatores, obteremos a matriz dos cofatores .

Passo 17

Depois de calcular todos os cofatores, transpondo a matriz dos cofatores obtemos a adjunta .

Passo 18

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
Simplificando, multiplicamos cada elemento da adjunta por para obter .

Resposta

A inversa da matriz é:
Após realizar todos os cálculos dos cofatores e da adjunta, obtemos:

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Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
©
Determine a equação de uma circunferência em cada item a seguir:
que passa por e ;