Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
© cx-2 y+3 z=0 2 x+5 y+6 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O sistema é:
x - 2y + 3z = 0 2x + 5y + 6z = 0
Vamos precisar montar a matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & -2 & 3 & | & 0 2 & 5 & 6 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma equação, e cada coluna representa os coeficientes de , , e o termo constante.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida (forma reduzida de Gauss-Jordan). Para isso, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro coeficiente (1) na primeira coluna.
Para isso, fazemos a operação R2 = [2 5 6 | 0] - 2 times [1 -2 3 | 0] = [0 9 0 | 0] :
1 & -2 & 3 & | & 0 0 & 9 & 0 & | & 0
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por 9 para facilitar:
R2 = 19 times [0 9 0 | 0] = [0 1 0 | 0]
A matriz atualizada:
1 & -2 & 3 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 0

Passo 5

Em seguida, vamos zerar o coeficiente de R1 = [1 -2 3 | 0] + 2 times [0 1 0 | 0] = [1 0 3 | 0] na primeira linha. Para isso, fazemos 1 & 0 & 3 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 :
A matriz final em forma reduzida:

Passo 6

Agora, vamos interpretar essa matriz. As equações correspondentes são:
x + 3z = 0 y = 0
Podemos resolver para x = -3z :
E temos . A variável é livre, ou seja, pode assumir qualquer valor.

Passo 7

Vamos calcular o posto da matriz aumentada e o posto da matriz dos coeficientes.
A matriz dos coeficientes é:
1 & -2 & 3 2 & 5 & 6
Após as operações, a forma reduzida da matriz dos coeficientes é:
1 & 0 & 3 0 & 1 & 0
Ambas as matrizes têm 2 linhas não nulas, então:
  • Posto da matriz aumentada: 2
  • Posto da matriz dos coeficientes: 2

Passo 8

Como o posto da matriz aumentada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e ambos são igual ao número de variáveis livres (número de variáveis - posto), o sistema é possível e indeterminado.
O grau de liberdade é 1, já que temos uma variável livre ( ).

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x = -3z y = 0 z = t (t in R)
O posto da matriz aumentada e da matriz dos coeficientes é 2. O sistema é possível e indeterminado, com grau de liberdade igual a 1.

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