Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O sistema é:
Vamos precisar montar a matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Aqui, cada linha representa uma equação, e cada coluna representa os coeficientes de , , e o termo constante.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida (forma reduzida de Gauss-Jordan). Para isso, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro coeficiente (1) na primeira coluna.
Para isso, fazemos a operação :
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por 9 para facilitar:
A matriz atualizada:

Passo 5

Em seguida, vamos zerar o coeficiente de na primeira linha. Para isso, fazemos :
A matriz final em forma reduzida:

Passo 6

Agora, vamos interpretar essa matriz. As equações correspondentes são:
Podemos resolver para :
E temos . A variável é livre, ou seja, pode assumir qualquer valor.

Passo 7

Vamos calcular o posto da matriz aumentada e o posto da matriz dos coeficientes.
A matriz dos coeficientes é:
Após as operações, a forma reduzida da matriz dos coeficientes é:
Ambas as matrizes têm 2 linhas não nulas, então:
  • Posto da matriz aumentada: 2
  • Posto da matriz dos coeficientes: 2

Passo 8

Como o posto da matriz aumentada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e ambos são igual ao número de variáveis livres (número de variáveis - posto), o sistema é possível e indeterminado.
O grau de liberdade é 1, já que temos uma variável livre ( ).

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
O posto da matriz aumentada e da matriz dos coeficientes é 2. O sistema é possível e indeterminado, com grau de liberdade igual a 1.

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