Determine a equação de uma circunferência em cada item a seguir:
que passa por (0,0),(2,2) e (-2,6);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrarmos a equação de uma circunferência que passa pelos pontos (0,0), (2,2) e (-2,6). A matéria que estamos lidando aqui é Geometria Analítica, e vamos precisar usar a fórmula geral da equação da circunferência e um pouco de álgebra para achar os parâmetros que determinam a circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da circunferência. Ela é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio. Nosso objetivo é descobrir os valores de h, k e r que fazem a circunferência passar pelos três pontos dados.

Passo 3

Como a circunferência passa pelos pontos (0,0), (2,2) e (-2,6), podemos substituir cada par (x, y) na equação da circunferência para formar um sistema de equações. Vamos fazer isso:
Para (0,0):
(0 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2
h^2 + k^2 = r^2 (1)
Para (2,2):
(2 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2
(2 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2 (2)
Para (-2,6):
(-2 - h)^2 + (6 - k)^2 = r^2
(-2 - h)^2 + (6 - k)^2 = r^2 (3)

Passo 4

Agora, temos três equações:
  1. h^2 + k^2 = r^2
  2. (2 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2
  3. (-2 - h)^2 + (6 - k)^2 = r^2
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar r^2:
(2 - h)^2 + (2 - k)^2 - (h^2 + k^2) = 0
Expandindo os quadrados:
(4 - 4h + h^2) + (4 - 4k + k^2) - h^2 - k^2 = 0
4 - 4h + 4 - 4k = 0
8 - 4h - 4k = 0
2 - h - k = 0
h + k = 2 (4)

Passo 5

Agora, vamos subtrair a equação (1) da equação (3):
(-2 - h)^2 + (6 - k)^2 - (h^2 + k^2) = 0
Expandindo os quadrados:
(4 + 4h + h^2) + (36 - 12k + k^2) - h^2 - k^2 = 0
4 + 4h + 36 - 12k = 0
40 + 4h - 12k = 0
Dividindo tudo por 4:
10 + h - 3k = 0
h - 3k = -10 (5)

Passo 6

Agora temos um sistema com as equações (4) e (5):
h + k = 2 h - 3k = -10
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a equação (4) da equação (5):
(h - 3k) - (h + k) = -10 - 2
h - 3k - h - k = -12
-4k = -12
k = 3
Agora, substituímos k = 3 na equação (4):
h + 3 = 2
h = -1

Passo 7

Agora que encontramos h = -1 e k = 3, podemos encontrar r usando a equação (1):
h^2 + k^2 = r^2
(-1)^2 + 3^2 = r^2
1 + 9 = r^2
r^2 = 10

Resposta

A equação da circunferência é:
(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 10

Exercícios relacionados