Determine a equação de uma circunferência em cada item a seguir:
que passa por
e
;
que passa por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrarmos a equação de uma circunferência que passa pelos pontos
,
e
. A matéria que estamos lidando aqui é Geometria Analítica, e vamos precisar usar a fórmula geral da equação da circunferência e um pouco de álgebra para achar os parâmetros que determinam a circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da circunferência. Ela é dada por:
Aqui,
é o centro da circunferência e
é o raio. Nosso objetivo é descobrir os valores de
,
e
que fazem a circunferência passar pelos três pontos dados.
Passo 3
Como a circunferência passa pelos pontos
,
e
, podemos substituir cada par
na equação da circunferência para formar um sistema de equações. Vamos fazer isso:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, temos três equações:
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar
:
Expandindo os quadrados:
Passo 5
Agora, vamos subtrair a equação (1) da equação (3):
Expandindo os quadrados:
Dividindo tudo por 4:
Passo 6
Agora temos um sistema com as equações (4) e (5):
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a equação (4) da equação (5):
Agora, substituímos
na equação (4):
Passo 7
Agora que encontramos
e
, podemos encontrar
usando a equação (1):
Resposta
A equação da circunferência é: