Determine, caso existam os seguintes limites: lim x 9 raizx-3raizx^2-9 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 9 da função . Isso envolve conceitos de limites e funções radicais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com radicais e aplicar técnicas para resolver formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz9 - 3raiz9^2 - 9 times 9 = 3 - 3raiz81 - 81 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos um resultado imediato:
Esse resultado é uma forma indeterminada do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para avaliar o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada raizx - 3raizx^2 - 9x times raizx + 3raizx + 3 = (raizx - 3)(raizx + 3)raizx^2 - 9x (raizx + 3) , uma técnica útil é racionalizar o numerador ou o denominador. Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada :

Passo 4

Simplificando o numerador usando a identidade (raizx)^2 - 3^2 = x - 9 :
x - 9raizx^2 - 9x (raizx + 3)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador raizx^2 - 9x = raizx(x - 9) :
x - 9raizx(x - 9) (raizx + 3)
Substituindo na expressão:

Passo 6

Perceba que x - 9raizx(x - 9) (raizx + 3) = raizx - 9 cdot raizx - 9raizx(x - 9) (raizx + 3) = raizx - 9raizx (raizx + 3) pode ser reescrito como , mas uma abordagem mais simples é fatorar como mesmo. Vamos então cancelar o termo com no denominador:

Passo 7

Agora, podemos expressar limh to 0 raizhraiz9 + h (raiz9 + h + 3) de forma que facilite o cálculo do limite quando se aproxima de 9. Vamos substituir , onde tende a 0:

Passo 8

Simplificando a expressão substituída:
raiz9 + h approx 3 quando h to 0
Então, a expressão fica aproximadamente:
raizh3 (3 + 3) = raizh18

Passo 9

Agora, ao calcular o limite quando limh to 0 raizh18 = 018 = 0 tende a 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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