Determine, caso existam os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 9 da função . Isso envolve conceitos de limites e funções radicais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com radicais e aplicar técnicas para resolver formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos um resultado imediato:
Esse resultado é uma forma indeterminada do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para avaliar o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada , uma técnica útil é racionalizar o numerador ou o denominador. Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada :

Passo 4

Simplificando o numerador usando a identidade :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador :
Substituindo na expressão:

Passo 6

Perceba que pode ser reescrito como , mas uma abordagem mais simples é fatorar como mesmo. Vamos então cancelar o termo com no denominador:

Passo 7

Agora, podemos expressar de forma que facilite o cálculo do limite quando se aproxima de 9. Vamos substituir , onde tende a 0:

Passo 8

Simplificando a expressão substituída:
Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 9

Agora, ao calcular o limite quando tende a 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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