Determine, caso existam os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 9 da função
. Isso envolve conceitos de limites e funções radicais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com radicais e aplicar técnicas para resolver formas indeterminadas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos um resultado imediato:
Esse resultado é uma forma indeterminada do tipo
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para avaliar o limite.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma forma indeterminada
, uma técnica útil é racionalizar o numerador ou o denominador. Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada
:
Passo 4
Simplificando o numerador usando a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos fatorar o denominador
:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Perceba que
pode ser reescrito como
, mas uma abordagem mais simples é fatorar
como
mesmo. Vamos então cancelar o termo
com
no denominador:
Passo 7
Agora, podemos expressar
de forma que facilite o cálculo do limite quando
se aproxima de 9. Vamos substituir
, onde
tende a 0:
Passo 8
Simplificando a expressão substituída:
Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 9
Agora, ao calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
O limite é igual a 0.
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