Este exercício busca analisar o porquê de
(a) Qual o domínio de ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela quer entender por que a integral de é igual a . E especificamente, na parte (a), está perguntando qual é o domínio da função .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e algumas propriedades dos logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio de uma função. O domínio é simplesmente o conjunto de todos os valores de entrada (valores de ) para os quais a função está definida, ou seja, que produzem um resultado real e válido.
No caso da função , estamos lidando com o logaritmo natural. O logaritmo só está definido para números positivos. Isso porque não existe nenhum número real que, ao ser elevado a uma base positiva, resulte em um número negativo ou zero.

Passo 3

Então, para a função , precisamos encontrar todos os valores de que fazem sentido dentro das regras do logaritmo natural.
Sabemos que:
  • está definido apenas quando .
Isso significa que qualquer valor de que for zero ou negativo não é permitido na função .

Passo 4

Além disso, ao resolver integrais envolvendo , como no enunciado, precisamos lembrar que o logaritmo natural nos dá a antiderivada de . No entanto, para garantir que a integral funcione corretamente, também deve ser positivo, mantendo a consistência com o domínio da função .

Resposta

O domínio de é todo número real positivo. Ou seja, .

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