Este exercício busca analisar o porquê de
(a) Qual o domínio de
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela quer entender por que a integral de
é igual a
. E especificamente, na parte (a), está perguntando qual é o domínio da função
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e algumas propriedades dos logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio de uma função. O domínio é simplesmente o conjunto de todos os valores de entrada (valores de
) para os quais a função está definida, ou seja, que produzem um resultado real e válido.
No caso da função
, estamos lidando com o logaritmo natural. O logaritmo só está definido para números positivos. Isso porque não existe nenhum número real que, ao ser elevado a uma base positiva, resulte em um número negativo ou zero.
Passo 3
Então, para a função
, precisamos encontrar todos os valores de
que fazem sentido dentro das regras do logaritmo natural.
Sabemos que:
-
está definido apenas quando .
Isso significa que qualquer valor de
que for zero ou negativo não é permitido na função
.
Passo 4
Além disso, ao resolver integrais envolvendo
, como no enunciado, precisamos lembrar que o logaritmo natural nos dá a antiderivada de
. No entanto, para garantir que a integral funcione corretamente,
também deve ser positivo, mantendo a consistência com o domínio da função
.
Resposta
O domínio de
é todo número real positivo. Ou seja,
.
Exercícios relacionados
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L
Determine, caso existam os seguintes limites:
Encontrar uma primitiva da função
que se anule no ponto
.
Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(6)
(6)