Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante que abranja a região delimitada por e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de uma placa fina com densidade constante . A região que essa placa cobre é limitada pelas curvas e , entre os pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas para determinar as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Precisamos encontrar onde as duas curvas se interceptam para saber de onde até onde integrar.
Temos as equações:
Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Então, ou . Substituindo na equação (2) para encontrar os valores de :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora que sabemos os limites de integração, vamos expressar a área da placa e as coordenadas do centro de massa.
A densidade é constante, então podemos ignorar nos cálculos de e , pois ela vai se cancelar.
As fórmulas para as coordenadas do centro de massa são:
onde A é a área da região, f(x) é a função de cima e g(x) é a função de baixo.
Passo 4
Vamos calcular a área A primeiro. A área entre as curvas é dada por: