Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
o.
o.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar soluções em séries de potências para a equação diferencial
, em torno do ponto
. Isso significa que vamos usar a técnica de séries de potências para resolver a equação, focando no ponto 1. Para isso, vamos precisar lembrar como representar funções como séries de potências e como derivar essas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser expressa como uma série de potências centrada em
. Ou seja,
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
Essas expressões vão ser usadas na equação diferencial dada.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial:
Precisamos simplificar isso para obter uma relação entre os coeficientes
.
Passo 5
Primeiro, vamos simplificar
e
em termos de
:
Então,
Agora, substituímos essas expressões na equação.
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Vamos multiplicar e reorganizar os termos para combinar as potências de
.
Passo 7
Distribuindo e ajustando os índices das somas para que todas as séries comecem com
:
Agora, vamos combinar as somas e igualar os coeficientes a zero.
Passo 8
Agrupando os termos semelhantes e igualando os coeficientes de
a zero para cada
, obtemos uma relação de recorrência:
Essa equação nos permite calcular os coeficientes
em termos dos anteriores.
Passo 9
Resolvendo para
:
Essa fórmula é usada para encontrar todos os coeficientes da série a partir dos dois primeiros termos.
Passo 10
Para iniciar, precisamos dos valores de
e
. Esses são geralmente determinados pelas condições iniciais ou valores arbitrários, já que a solução geral de uma EDO de segunda ordem tem dois parâmetros. Supondo
e
livres, podemos construir a série:
Usando a relação de recorrência, podemos encontrar
etc., em termos de
e
.
Resposta
Portanto, a solução em série de potências da equação diferencial
em torno de
é:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência:
Os valores de
e
são constantes arbitrárias que dependem das condições iniciais da equação diferencial.
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