Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto x_0.
o. (x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0, x0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar soluções em séries de potências para a equação diferencial , em torno do ponto . Isso significa que vamos usar a técnica de séries de potências para resolver a equação, focando no ponto 1. Para isso, vamos precisar lembrar como representar funções como séries de potências e como derivar essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências centrada em . Ou seja,
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculando as derivadas de :
Essas expressões vão ser usadas na equação diferencial dada.

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação diferencial:
Precisamos simplificar isso para obter uma relação entre os coeficientes .

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar e em termos de :
Então,
Agora, substituímos essas expressões na equação.

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Vamos multiplicar e reorganizar os termos para combinar as potências de .

Passo 7

Distribuindo e ajustando os índices das somas para que todas as séries comecem com :
Agora, vamos combinar as somas e igualar os coeficientes a zero.

Passo 8

Agrupando os termos semelhantes e igualando os coeficientes de a zero para cada , obtemos uma relação de recorrência:
Essa equação nos permite calcular os coeficientes em termos dos anteriores.

Passo 9

Resolvendo para :
Essa fórmula é usada para encontrar todos os coeficientes da série a partir dos dois primeiros termos.

Passo 10

Para iniciar, precisamos dos valores de e . Esses são geralmente determinados pelas condições iniciais ou valores arbitrários, já que a solução geral de uma EDO de segunda ordem tem dois parâmetros. Supondo e livres, podemos construir a série:
Usando a relação de recorrência, podemos encontrar etc., em termos de e .

Resposta

Portanto, a solução em série de potências da equação diferencial em torno de é:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência:
Os valores de e são constantes arbitrárias que dependem das condições iniciais da equação diferencial.

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