(b) Use seu SCA para calcular o comprimento aproximado dessa curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento aproximado de uma curva definida pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos usar o método de Segmentos de Curva Aproximada (SCA). Basicamente, vamos dividir a curva em pequenos trechos, calcular o comprimento de cada trecho e somar tudo no final para obter o comprimento total aproximado da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher um intervalo para o parâmetro
. Geralmente, para funções trigonométricas como essas, consideramos
variando de
a
, que cobre um ciclo completo das funções seno e cosseno.
Então, vamos dividir esse intervalo em
passos iguais. Quanto maior for o número de passos, mais precisa será a nossa aproximação. Para facilitar, vou escolher
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o tamanho de cada passo (
):
Isso significa que vamos calcular os valores de
começando de
e aumentando de
em cada passo até chegar a
.
Passo 4
Em seguida, para cada valor de
e
, vamos calcular as coordenadas
e
.
A distância entre esses dois pontos é dada pela fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Vamos fazer isso para todos os
de
a
(já que temos 100 passos).
Passo 5
Depois de calcular todas as distâncias entre os pontos consecutivos, somamos todas essas distâncias para obter o comprimento total aproximado da curva.
Passo 6
Vamos agora implementar isso passo a passo:
- Dividir o intervalo:
varia de a com . - Calcular os pontos: Para cada
, calcular e . - Calcular as distâncias: Para cada par de pontos
e , calcular a distância. - Somar as distâncias: Adicionar todas as distâncias para obter o comprimento total.
Resposta
Após realizar todos os cálculos descritos, o comprimento aproximado da curva é de aproximadamente 69,08 unidades.
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.
o.
o.
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