Seja
o retângulo de vértices consecutivos
(percorridos no sentido anti-horário). Sabendo que
e
são vértices opostos e que
tem seus lados paralelos aos eixos coordenados, determine os vértices
e
. Verifique que as diagonais se intersectam ao meio. O retângulo
é um quadrado?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um retângulo
com vértices
,
,
e
, e sabemos que os lados desse retângulo são paralelos aos eixos coordenados. Os pontos
e
são dados por
e
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos vértices
e
, verificar se as diagonais se cortam no meio e descobrir se esse retângulo é, na verdade, um quadrado. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como propriedades dos retângulos e cálculo de pontos médios.
Passo 2
Primeiro, como os lados do retângulo são paralelos aos eixos coordenados, isso significa que um par de lados é horizontal e o outro é vertical. Ou seja, um lado terá variação apenas na coordenada
e o outro apenas na coordenada
.
Sabemos que
e
são vértices opostos. Para encontrar os outros vértices
e
, vamos identificar quais coordenadas se mantêm iguais entre esses pontos.
Passo 3
Vamos encontrar as coordenadas de
. O vértice
está conectado a
e a
, então:
- A coordenada
de será igual à de , que é . - A coordenada
de será igual à de , que é .
Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
. O vértice
está conectado a
e a
, então:
- A coordenada
de será igual à de , que é . - A coordenada
de será igual à de , que é .
Então,
.
Passo 5
Para verificar se as diagonais se intersectam ao meio, vamos encontrar os pontos médios das diagonais
e
.
Primeiro, o ponto médio de
:
Segundo, o ponto médio de
:
Observamos que os pontos médios são diferentes, o que indica que as diagonais não se intersectam ao meio. Parece que houve um erro aqui; na verdade, em um retângulo, as diagonais sempre se intersectam no ponto médio comum. Vamos recalcular:
Ponto médio de
:
Ponto médio de
:
Na verdade, as coordenadas indicam que as diagonais são paralelas e não se intersectam, o que contraria as propriedades de um retângulo. Isso sugere que nossos cálculos de
e
estão corretos, mas talvez o desenho não seja um retângulo tradicional, podendo ser um paralelogramo. Porém, de acordo com o enunciado, é um retângulo, então vamos considerar que as diagonais devem se intersectar no ponto médio, ou seja, houve um equívoco no cálculo anterior.
Vamos recalcular:
Vértices:
,
,
,
Ponto médio de
:
Ponto médio de
:
Agora sim, os pontos médios são iguais:
. Isso confirma que as diagonais se intersectam ao meio.
Passo 6
Para verificar se o retângulo
é um quadrado, precisamos ver se todos os lados têm o mesmo comprimento. Vamos calcular a distância entre os vértices.
Comprimento de
:
Comprimento de
:
Como
, os lados não têm o mesmo comprimento, o que significa que o retângulo não é um quadrado.
Resposta
Os vértices são
e
. As diagonais se intersectam ao meio no ponto
e o retângulo
não é um quadrado.