Determine o centro e o raio da circunferência de equação:
x^2+y^2-16 x-8 y+67=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar o centro e o raio da circunferência dada pela equação . Aqui, vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente o método de completar o quadrado para transformar a equação geral da circunferência na forma padrão. Vamos precisar reorganizar os termos e completar os quadrados para e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de x^2 - 16x + y^2 - 8y = -67 e separados:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (-162)^2 = (-8)^2 = 64 . Pegamos o coeficiente de x^2 - 16x + 64 - 64 + y^2 - 8y = -67 , que é -16, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 64 na equação:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de (-82)^2 = (-4)^2 = 16 . Pegamos o coeficiente de x^2 - 16x + 64 + y^2 - 8y + 16 - 64 - 16 = -67 , que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 16 na equação:

Passo 5

Agora, agrupamos os termos completos do quadrado e simplificamos a constante:
(x - 8)^2 + (y - 4)^2 - 80 = -67

Passo 6

Isolamos os termos quadrados:
(x - 8)^2 + (y - 4)^2 = -67 + 80
(x - 8)^2 + (y - 4)^2 = 13

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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